
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
stripeさん、こんにちは。
>対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ.
対する辺、というのがよく分からないのですが
正四面体を、A-BCDとしますと(てっぺんの頂点をAとする)
ABの中点Pと
CDの中点Qを結ぶ直線PQは
PQ⊥CD、PQ⊥AB
ということ、でしょうか?
>中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから
のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。
う~ん・・どうしたらいいのかなあ。
真上から、真下を見る感じで、正四面体を見てみましょうか。
底面は、正三角形BCDです。
その真ん中に、点Aが位置するのが分かると思います。
(真ん中に、というのは、各点B,C,Dから等距離に)
ここで、CDの中点Qと、線分ABは、同一直線上にくるんですが
それはいいでしょうか?
なぜかというと、正四面体は、左右対称なので
BQを通る直線で、底面BCDに垂直に、すぱっと半分に切ると
その切り口に、点Aは絶対きますよね?
AもBも、切り口上にあるので、ABの中点Pも当然切り口上にあります。
ということで、B,P,A、Qは同一直線上にあると分かります。
次に三角形DQBと三角形CQBにおいて、
DQ=CQ=1/2
DB=CB=1
∠D=∠C=60度から
それぞれは、60°30°90°の直角三角形
なので、DC⊥PQ
(これは、あくまで上からぺっしゃんこの形に正四面体を見たときです)
さて、今度は立体的に考えるんですが
さきほど、CDに⊥でCDの中点Qを通る面で、すぱっと切ると
その切り口に、B,B,Pは乗っているといいましたよね。
今度は、正四面体を、立てて、側面ABQから見た図を描きましょう。
ピタゴラスの定理より、BQ=√(1^2-(1/2)^2)
BQ=√3/2
同じく、AQ=√3/2
AB=1
となるので、三角ABQは、AQ=BQの二等辺三角形。
AP=BPより、AB⊥PQで
(二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を二等分する)
△BPQは直角三角形。
よってピタゴラスの定理から
PQ^2=BQ^2-BP^2
=(√3/2)^2-(1/2)^2
=3/4-1/4
=1/2
PQ>0より、PQ=1/√2=√2/2
なんか、ややこしい説明になってしまったかも。
上から、正四面体を、ぺっちゃんこの平面ととらえて見ることと、
△ABQが二等辺三角形になるのが分かればいいと思います。
頑張ってください。
ありがとうございます!
正四面体のなかで、二等辺三角形を見つけると、わかりやすいですね!
よくわかりました!
>対する辺、というのがよく分からないのですが
正四面体を、A-BCDとしますと(てっぺんの頂点をAとする)
ABの中点Pと
CDの中点Qを結ぶ直線PQは
PQ⊥CD、PQ⊥AB
ということ、でしょうか?
はい、そうなんだと思います。
問題文はそのまま写したんですけど、わかりにくくて、最初は何を聴かれているのかぜんぜん分かりませんでした。
そのながさを求めるのに、「直角だから」という説明がよくわからなかったので、お聞きしました(^^;
よくわかったのでよかったです。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
幾何の話なのでイメージ的に捉えてみましょう。
想像してみましょう。
立方体にすっぽりおさまってる正四面体。
立方体の底面の四つ角をABCDとし、
上面の四つ角をabcdとする。
ACbdの四つの頂点を結んだものが正四面体です。
ACの中点をE、bdの中点をeとすると・・
それぞれ、正方形ABCDの中心がEであり、
正方形abcdの中心がeになります。
立方体の対する面の中心を貫く軸は上面、底面に直行することはわかると思います。
ということで、面に直交する軸と、その面内で軸に交わる直線は直交するので、
「線分と辺が直角になる」ことになるわけです。
わかりました~。正確に図を書いてみると、よくわかりますね(^^;
またわからなくなったら図を書こうと思います。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
1辺が1/√2の立方体があります。
ABCD-EFGHとします。
AC、AE、AH、CH、CE、FHを結んでできるのは
1辺が1の正四面体ですよね?
対する辺の中点を結ぶと直角になっていることがわかりますよね?
(対する辺が等しい四面体は直方体の中にちょうどおさまる、のです。)
(直方体でいう対角線のねじれの位置(?)関係にある辺が四面体の一辺になる)
ありがとうございます!
>ABCD-EFGHとします。
AC、AE、AH、CH、CE、FHを結んでできるのは
1辺が1の正四面体ですよね?
これを書いてみたのですが、図が下手なのかうまく正四面体がかけなかったのですが、頂点と、その底面を教えていただけますか?
それがわかると書きやすくなると思うので、よろしくお願いしますm(__)m
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