正四面体の問題

辺の長さが1の正四面体の、対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ.

という問題なのですが、
中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから、三平方の定理で求められると思うのですが、
＞中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから
のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。
なぜ直角になるのか教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/09/01 12:32

stripeさん、こんにちは。

＞対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ.

対する辺、というのがよく分からないのですが
正四面体を、A-BCDとしますと（てっぺんの頂点をAとする）
ABの中点Pと
CDの中点Qを結ぶ直線PQは
PQ⊥CD、PQ⊥AB
ということ、でしょうか？

＞中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから
のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。

う～ん・・どうしたらいいのかなあ。
真上から、真下を見る感じで、正四面体を見てみましょうか。
底面は、正三角形ＢＣＤです。
その真ん中に、点Ａが位置するのが分かると思います。
（真ん中に、というのは、各点Ｂ，Ｃ，Ｄから等距離に）
ここで、ＣＤの中点Ｑと、線分ＡＢは、同一直線上にくるんですが
それはいいでしょうか？
なぜかというと、正四面体は、左右対称なので
ＢＱを通る直線で、底面ＢＣＤに垂直に、すぱっと半分に切ると
その切り口に、点Ａは絶対きますよね？
ＡもＢも、切り口上にあるので、ＡＢの中点Ｐも当然切り口上にあります。
ということで、Ｂ，Ｐ，Ａ、Ｑは同一直線上にあると分かります。
次に三角形ＤＱＢと三角形ＣＱＢにおいて、
ＤＱ＝ＣＱ＝1/2
ＤＢ＝ＣＢ＝１
∠Ｄ＝∠Ｃ＝６０度から
それぞれは、６０°３０°９０°の直角三角形

なので、DC⊥PQ
（これは、あくまで上からぺっしゃんこの形に正四面体を見たときです）

さて、今度は立体的に考えるんですが
さきほど、CDに⊥でCDの中点Qを通る面で、すぱっと切ると
その切り口に、B,B,Pは乗っているといいましたよね。
今度は、正四面体を、立てて、側面ABQから見た図を描きましょう。

ピタゴラスの定理より、BQ=√(1^2-(1/2)^2)
BQ=√3/2
同じく、AQ=√3/2
AB=1
となるので、三角ABQは、AQ=BQの二等辺三角形。
AP=BPより、AB⊥PQで
（二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を二等分する）
△BPQは直角三角形。

よってピタゴラスの定理から
PQ^2=BQ^2-BP^2
=(√3/2)^2-(1/2)^2
=3/4-1/4
=1/2
PQ>0より、PQ=1/√2=√2/2

なんか、ややこしい説明になってしまったかも。
上から、正四面体を、ぺっちゃんこの平面ととらえて見ることと、
△ABQが二等辺三角形になるのが分かればいいと思います。
頑張ってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
正四面体のなかで、二等辺三角形を見つけると、わかりやすいですね！
よくわかりました！

＞対する辺、というのがよく分からないのですが
正四面体を、A-BCDとしますと（てっぺんの頂点をAとする）
ABの中点Pと
CDの中点Qを結ぶ直線PQは
PQ⊥CD、PQ⊥AB
ということ、でしょうか？

はい、そうなんだと思います。
問題文はそのまま写したんですけど、わかりにくくて、最初は何を聴かれているのかぜんぜん分かりませんでした。
そのながさを求めるのに、「直角だから」という説明がよくわからなかったので、お聞きしました(＾＾；
よくわかったのでよかったです。

ありがとうございました。

お礼日時：2003/09/02 15:32

No.4 回答者： acacia7 回答日時： 2003/09/01 20:25

幾何の話なのでイメージ的に捉えてみましょう。

想像してみましょう。
立方体にすっぽりおさまってる正四面体。

立方体の底面の四つ角をＡＢＣＤとし、
上面の四つ角をａｂｃｄとする。
ＡＣｂｄの四つの頂点を結んだものが正四面体です。

ＡＣの中点をＥ、ｂｄの中点をｅとすると・・
それぞれ、正方形ＡＢＣＤの中心がＥであり、
正方形ａｂｃｄの中心がｅになります。

立方体の対する面の中心を貫く軸は上面、底面に直行することはわかると思います。
ということで、面に直交する軸と、その面内で軸に交わる直線は直交するので、
「線分と辺が直角になる」ことになるわけです。

この回答へのお礼

わかりました～。正確に図を書いてみると、よくわかりますね(＾＾；
またわからなくなったら図を書こうと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/09/02 15:44

No.2 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/09/01 01:21

１辺が１／√２の立方体があります。

ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨとします。
ＡＣ、ＡＥ、ＡＨ、ＣＨ、ＣＥ、ＦＨを結んでできるのは
１辺が１の正四面体ですよね？

対する辺の中点を結ぶと直角になっていることがわかりますよね？

（対する辺が等しい四面体は直方体の中にちょうどおさまる、のです。）
（直方体でいう対角線のねじれの位置（？）関係にある辺が四面体の一辺になる）

この回答への補足

わかりました！図がかけました！
とてもわかりやすいですね～。
ありがとうございました。

補足日時：2003/09/02 15:44

この回答へのお礼

ありがとうございます！
＞ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨとします。
ＡＣ、ＡＥ、ＡＨ、ＣＨ、ＣＥ、ＦＨを結んでできるのは
１辺が１の正四面体ですよね？

これを書いてみたのですが、図が下手なのかうまく正四面体がかけなかったのですが、頂点と、その底面を教えていただけますか？
それがわかると書きやすくなると思うので、よろしくお願いしますm(__)m

お礼日時：2003/09/02 15:28

No.1 回答者： dendai 回答日時： 2003/09/01 00:04

図を描きましたか？

斜めから見た立体的な図だけでなく、真上から見たとき、真横から見たときの図も書けば直角になることが良くわかると思いますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
正四面体は一種類しかかけないのでかけるようにしたいとおもいます。

お礼日時：2003/09/02 15:20