No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>もう少し、ヒント頂けると助かります。
私の計算ミスのようだ。正しいものを書いとく。
OP^2=x^2+y^2=225(1+m^2)/(7m^2+8m+1)
(1+m^2)/(7m^2+8m+1)=k として分母を払い、判別式≧0 から求める。
k≧0は明らかだから(距離だから)判別式は因数分解できて、k≧1/9 以下省略。
それと、極座標がわかったなら必要ないと思うが、解法の1は微分しないでも求まるが、それにしても途中の計算が面倒のようだ。
この方法もいい方法なんだが、この問題にはむいてないようだ。
1つの問題に解法は1つではない事が多いから、引き出しを多く持つ事(視野を広げる事)は絶対に必要な事だ。
普段から、そのように意識して勉強したら良いだろう。
ご解答ありがとうございます。
いろんな解法を知っておくことで、問題に対していろいろなアプローチができるので、問題を解ける可能性も広がりますね。
解法や知識の引き出しを多く持って、普段から使えるように、しっかりと復習等やりたいと思います。
どうも、お世話になりました。
No.2
- 回答日時:
まだあるな。
極座標が使える。x=r*cosθ、y=r*sinθ から条件式に代入すると、r^2=225/(4sin2θ-3cos2θ+4)
OP^2=x^2+y^2=r^2=225/(4sin2θ-3cos2θ+4) だから、分母が最大なら 最小になる。
従って、分母を合成して最大値を求めると良い。もちろん、0≦θ<2πの範囲で。
以下、自分でやって。
ご指導ありがとうございました。
自分的にはこの解法が一番しっくりきました。
おかげさまで、解くことができました。
本当にありがとうございました!
No.1
- 回答日時:
問題を見て、ぱっと思いつくのは次の2つの解法。
(解法-1)
双曲線のparameter表示を考える。
条件式は (x+4y)^2-9y^2=225 だから、1+tan^2θ=1/cos^2θを思い出すと(x+4y)^2/225-(3y/15)^2=1より、x+4y=1/cosθ、y/5=tanθ であるから、x=(75-4sinθ)/5sinθ y=5tanθ ‥‥(1)
OP^2=x^2+y^2=(1)を代入して三角関数で表示して=sinθの分数関数になるから、0≦θ<2π で微分。
(解法-2)
こっちの解法の方が簡単なんだが。双曲線と原点を通る直線を考える。
x=0の時、y^2=225/7 から OP^2=x^2+y^2=225/7 これも解の一部。
x≠0の時、y=mxとして条件式に代入すると、x^2=225/(7m^2+8m+1)であるから、OP^2=x^2+y^2=(225+m^2)/(7m^2+8m+1)
この最小値を求める事になるが、微分は要らない。
(225+m^2)/(7m^2+8m+1)=k として分母を払い、判別式≧0 から求める。
そのときのmの値も求める事。
解答ありがとうございます。
1つ目の解法はsinθへの変形や計算が面倒ですが、なんとかできそうです。
2つ目の解法はmについての判別式を立ててみましたが、kの値がうまく出てきませんでした。解の公式で解いてみても、根号の中がすごく大きな値になってしまうのですが・・・
もう少し、ヒント頂けると助かります。
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