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1 A4の位数はたったの12ですから、地道に計算しても大した手間暇でありません。
地道な計算も、存外、馬鹿にしたものでもありません。この作業をすることにより、問題の構造を体感できて、一般論への手掛かりが得られるからです。2 一般論からのアプローチ
(巡回置換型)
置換を互いに素な巡回置換の積で表すとき、その長さの組み合わせを「巡回置換型」と言います。例えば、S4の中で、(13)(24)の巡回置換型は{2,2}、(134)の巡回置換型は{31}、単位元eの巡回置換型は、{1111}です。
容易に分かるように、
[1] 「Snの元aとbがSnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要十分条件」
です。したがって、
[2] 「Anの元aとbがAnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要条件」
です。
(Kleinの4元群)
V4は、巡回置換型が{1111}の元1個と、巡回置換型が{22}の元3個から成っていて、これで{1111}または{22}の巡回置換型を持つ元がすべて尽くされます。よって、上の[2]により、V4の元の共役元は、すべて、V4の中にあることになります。
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