いつもお世話になります。大学の数学の問題です

次の2つの問題が解けません。どなたかご教授ください。
1.曲線　8*a^3*y=x^4+6*a^2*x^2 (a>0) のx=0からx=2aまでの弧長を求めよ。

2.曲線　(2a-x)*y^2=x^3 (a>0)の上に２頂点をもち、漸近線上に他の2頂点を
もつ長方形の面積の最大値を求めよ。　　とくにこちらは教科書に例題もなく困ってます

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/02/02 02:15

#1です。

質問者の応答ないけど本当にやる気あるのかな？

１番目の問題
s=∫[0,2a] [1+{(4x^3+12(a^2)x)/(8a^3)}^2]^(1/2) dx
= [1/{8(a^3)}] [x (x^2+4a^2)^(3/2)] [x:0,2a]
= 4a√2

計算は自身で計算して確かめること。

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2011/02/01 23:07

2のみ回答！

(2a-x)*y^2=x^3 (a>0)・・・は、
・x軸に関して対称
・漸近線はx = 2a
・グラフの存在範囲：0≦x≦2a

よって長方形の面積はy≧0の部分を計算してそれを2倍すれば良い。
y = √(x^3/(2a-x))
なので長方形の面積Sは点(x,√(x^3/(2a-x)))、(2a,√(x^3/(2a-x)))、(2a,0)、(x,0)で囲まれた領域の2倍となるから
S = 2・(2a－x)・√(x^3/(2a-x)) = 2√(2ax^3－x^4)
dS/dx = x(6a－4x)/√{2ax(1－x)}
よって極値はx = 3a/2でこの点に於いて極大かつ最大となる。
∴S = 2√{(2a・(2a/2)^3－(3a/2)^4)} = (3√3/2)・a^2

＜因みに(2a-x)*y^2=x^3 (a>0)はシッソイド(疾走線)と言う曲線・・・！＞

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/02/01 22:40

１

曲線の弧長の公式(参考URL参照、教科書にも載っているはず)にy'を求めて代入し積分を実行するだけ。
質問者さんの行き詰っている所までの解答を補足にお書き下さい。

２
長方形の曲線上の2点のx座標をtとおく。
漸近線は
y=0とx=2a
長方形の面積S=(2a-t)*2t√(t/(2a-t)),0<t<2a
dS/dt=-4(t-3a/2)√{t/(2a-t)}
dS/dt=0より t=3a/2
t<3a/2でdS/dt>0 単調増加
t>3a/2でdS/dt<0 単調減少
t=3a/2で極大（最大）となり最大値S(t=3a/2)=(3/2)(√3)a^2

大学の問題は解答がないのが当たり前です。講義や教科書を見たり図書館で調べて自分で解答を作るのが大学の勉強です。どうしても分からない場合は先生に質問するようにして下さい。

参考URL：http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …