数学 場合の数、確率

場合の数、確率の問題

区別できない8つの玉がある。これを次のように3つの箱に分ける方法はそれぞれ何通りあるか。ただし、1個も入らない箱があってもよい。
（１）3つの箱に区別がないとき

（２）3つの箱に区別があるとき

（１）で、区別がないので書きだして10通りというのは模範解答にあり、意味も分かりました。
これを使って（２）は、書きだしたそれぞれの入れ方の並べ替え（たとえば 8,0,0 なら3通り）として、総和が45だから45通り
これもわかるんですが、この（２）を最初解いたとき、3^8としました。
全然違うのですが、なぜ違うのかが分かりません。
教えてください。


ここから別の問題です。
箱の中に白球、赤球、黒玉がそれぞれ2個ずつ入っている。この箱から1個ずつ球を取り出す操作を何回行い、すべての色の球が取り出されたときに捜査を終了する。
一度取り出した球は箱に戻さないとして、次の問いに答えよ。
（1）4回で操作を終了する確率
（２）5回で操作を終了する確率

（１）の考え方として
4回で操作終了ということは、最初の3回のうちに同じ色の球を2個取るわけです。
2個取る球を色で場合分けしました。
分母 6個の球から3個の球を取り出す方法は6C3だから分母は6C3
分子 同じ球を2個取るのは1通り、残り4つの球から1つ取るから4通り、これらの並べ替えがあるから掛ける3 よって分子は
1*4*3
最後に残り3つの球から上の二色以外の球を取るから2/3を掛ける。

そして、上で求めた確率が色の場合分けより3通りあるから3を掛ける。

としました。
しかし、違いました。

この問題の答えは2/5となるのですが、上のやり方ではなりません。
分子を求めたときに「これらの並べ替えがあるから掛ける3」と書きましたが、これがないと2/5になります。
分かりません。教えてください。

（２）に関しては後ほど捕捉します。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/02/05 23:40

＞だから「この 1 が赤の場合、白の場合、黒の場合、に分けて考えている」と思っていました。

＞だから最後に3をかけていました。

そういう意味でしたか。
それなら3をかけて正解ですね。
すみません、勘違いしていました。

1*4*3の最後の3は、並べ替えの数とのことですが、これが間違いでした。

同じ色の球が2個ありますが、この2個は区別しているので、並べ替えの数は６になります。
分母は、同じ色でも区別して数えているので、分子も区別して数える必要があります。
計算式は、
1*4*6/120 * 2/3 * 3 = 2/5


＃２で書いた色の組み合わせが６通りとして数えるのは、２番目に取る玉を別の色の２個とした場合で、
1*2*6/120 * 2/3 * 6 = 2/5
が正しい計算式でした。


別解として、
２番目の取り出したのが１番目と同じ色か違う色かで場合分けすれば、
(6/6)*(1/5)*(4/4)*(2/3) + (6/6)*(4/5)*(2/4)*(2/3) = 2/5

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
理解することができました。

また同じような質問をするかもしれませんが、よろしくお願いします。

お礼日時：2011/02/12 11:05

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/02/05 21:37

＞さらに、これが三色ぶんあるから3を掛ける

これが間違いです。

２個が同じ色、もう１個が別の色ですから、その組み合わせは、
白白赤
白白黒
赤赤白
赤赤黒
黒黒白
黒黒赤
の６通りあります。

1*4*3/120 * 2/3 * 6 = 2/5

と書いたほうが分かりやすかったでしょうか。


ついでに(2)は、
(1)と同じようにしてもできますが、終了するのは必ず３～５回取り出したときですから、
３回で終了する確率が出せれば、
１から３回で終了する確率と(1)で求めた４回で終了する確率を引けば求まります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>２個が同じ色、もう１個が別の色ですから、その組み合わせは、
白白赤
白白黒
赤赤白
赤赤黒
黒黒白
黒黒赤
の６通りあります。

ここの意味は分かりました。

じゃあ私は何を間違っていたのでしょうか?
1*4*3/120 * 2/3　の部分で
私は頭の中では「2個とる球、つまりこの式の1の部分は（ある一色）である」と考えていました。
だから「この 1 が赤の場合、白の場合、黒の場合、に分けて考えている」と思っていました。
だから最後に3をかけていました。

補足日時：2011/02/05 22:33

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/02/05 20:23

最初の質問は、

3^8は、玉も箱も区別しているときの数え方です。
問題は、玉は区別していないので、この数え方ではだめです。

次の質問は、
まず、分母の数え方が間違ってます。
6C3は順番を考えていないので、正しくは、6P3=6*5*4=120
分子は、
1*4*3は合ってますが、
色の場合分けは6通りあります。（２個の色と１個の色の組み合わせ）

1*4*3*6/120 * 2/3 = 2/5

この回答への補足

二番目の問題の「4回で操作が終了する」の答えは2/5なのですが
1*4*3*6/120 * 2/3 = 2/5
この式がよくわかりません。
分母が6P3というのは分かりました。
それで考えた場合、私は
分母　6P3
分子　2つ取るのが1通り、残り4つから1つ選ぶのが4通り、これらの取る順番が3通り
　　　だから分子は1*4*3
　　　つまり、分数は1*4*3/6P3
　　　
　　　最後に取るのが上の二色以外の球、つまり残り3つのうち2つあるから2/3
　　　だから、1*4*3/6P3 * 2/3
　　　
　　　さらに、これが三色ぶんあるから3を掛ける
　　　とおかしくなります。
　　　どこがいけないのでしょうか?

確率の問題で、簡単なものは解けるのですが、少し難しくなると、「重複して数えてしまっている」とか「無駄な数を掛けている」などそのあたりが分からなくなります。
　　　

補足日時：2011/02/05 21:15