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2次関数で内心をもとめる問題です。意外とむずかしいのでわかる方教えてください。

座標A(0、0)、B(3,3)、C(4,0)の3点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください(Xだけでも可)。

わかりやすく教えていただける方の回答お待ちしています。

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A 回答 (3件)

handmishさん、こんにちは。


分かりやすいかどうかわからないですが・・

>座標A(0、0)、B(3,3)、C(4,0)の3点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください(Xだけでも可)。

内接円の中心(内心)をI(a,b)とします。
点Iは、線分AB,BC,CAから等距離にあります。
また、線分ACはx軸になっているので
内心のy座標そのものが、内接円の半径になります。

直線ABの方程式
y=x
ですから、点(a,b)からy=xまでの距離は
点と直線の方程式から,b>0より

|a-b|/√(1^2+1^1)=b
|a-b|=√2b・・・(1)

直線BCの方程式は

y-3={(0-3)/(4-3)}*(x-3)
3x+y-12=0
これと点(a,b)との距離は

|3a+b-12|/√(3^2+1^1)=b
|3a+b-12|=√10b・・・(2)

(1)(2)と未知数がa,bの2個ですから、
連立方程式を解けば、abは求められます。
(計算かなりややこしそうです・・)


それか、面積から考えるとよいのでは。
三角形ABCの面積は
内接円の半径をrとすると

△ABC=r*(AB+BC+CA)/2

ですね。
AB=√(3^2+3^2)=3√2
BC=√(3^2+1^2)=√10
CA=4

また、△ABCの面積は底辺AC=4、高さ3なので
底辺×高さ÷2より6

なので
△ABC=r*(AB+BC+CA)/2=6
r=12/(3√2+√10+4)

この半径が内心のy座標になっている。
あとは、
|a-b|/√(1^2+1^1)=b
からx座標のaも求められると思います。
一度やってみてくださいね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。そんな方法は知りませんでした。自分でやってみたらばっちりできました。

お礼日時:2003/09/12 23:17

fushigichanさんが二つ目に書いた回答が一番求めやすいと思いますが、少し補足すると


rを求めたあとにそのrをy座標としてx座標を求めますが
内心は角BACの二等分線を通るということなので
y=1/2x(ABがy=xなので)に代入して求めれば、より簡単だと思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。2番目の方法は簡単に理解できました。より簡単な方法もとても参考になりました。文量からポイントをつけさせて頂きました。ご容赦ください。

お礼日時:2003/09/12 23:21

内心=三つの角の二等分線の交点=各辺から等距離にある点


というのをヒントに点と直線の距離の公式を用いるのが自然な解法だと思います。図は御自身で描かれて試してみてください。

まず直線ABの式はx-y=0、直線BCは3x+y-12=0と出来ることに注意。
内心の座標をI(X,Y)と置くとIと直線ACの距離はY、
他方直線と点の距離の公式より、
Iと直線ABの距離は|X-Y|/√2、Iと直線BCの距離は|3X+Y-12|/√10です。
これらがすべて等しいから
Y=|X-Y|/√2=|3X+Y-12|/√10
となります。絶対値が面倒なので全辺二乗して、
Y^2=(X-Y)^2/2=(3X+Y-12)^2/10
となります。あとはこれを解けばよいですが面倒です。絶対値を正負に分けて場合分けの方が恐らく無難でしょう。

もうひとつのアイデアですが、∠BACの二等分線をまずもとめます。計算は例えばtanの半角公式tanθ/2={(1-cosθ)/(1+cosθ)}^(1/2)を用いてy=(√2-1)xであることがわかります。内心点はこの直線上にあることから、直線BCとの距離と直線ACとの距離が等しくなる条件を求めてもできます。こちらだと
|3x+(√2-1)x-12|/√10=(√2-1)x
となって両辺二乗して整理すれば
(36-16√2)x^2-24(√2+2)x+144=0
という二次方程式を解けばよいでしょう。

計算ミスはご容赦ください。いずれにしても僕の方法では高校二年ぐらいの数学の知識が必要のようですので、もっと別の方法があるような気はします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。距離の公式を使う方法は知りませんでした。傾きで求めることもできるのですね。

お礼日時:2003/09/12 23:19

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Aベストアンサー

AB=4,BC=8,CA=6である△ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。
>このとき、次のものを求めよ。
>(1)線分BDの長さ
△ABCで、Iは内心だから、AIは角Aの二等分線
BD:DC=AB:AC=4:6=2:3
BD=8×(2/5)=16/5

>(2)AI:ID
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地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2 (1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2 (2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2 (3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
-2(x1-x3)p -2(y1-y3)q +x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2 =0


p = {(y1-y3)(y1^2 -y2^2 +x1^2 -x2^2) +(y1-y2)(y1^2 -y3^2 +x1^2 -x3^2)} / {2(y1-y3)(x1-x2)+2(y1-y2)(x1-x3)}

q = {(x1-x3)(x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2) +(x1-x2)(x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2)} / {2(x1-x3)(y1-y2)+2(x1-x2)(y1-y3)}


とかなり複雑な式になりました。
計算がどこかで間違っているかもしれませんが、残念ながらあまり美しくはなりませんね。

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2 (1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2 (2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2 (3)

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(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
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つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
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>sinA =5t, sinB = 6t, sinc = 7t とおけて
>A=Arcsin(5t),B=Arcsin(6t),C=Arcsin(7t)
>ですので角度の比は
>Arcsin(5t) : Arcsin(6t) : Arcsin(7t)
>となります。

ここでtを出さないといけないことを忘れてました。
このまま計算すると、大変ややこしくなるので、私の#4の回答は無視してください。
#3さんのように、余弦定理を使う方が計算がすっきりします。

a=5k,b=6k,c=7k とすると
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc = 60k^2/84k^2 = 5/7
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca = 38k^2/70k^2 = 19/35
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab = 12k^2/60k^2 = 1/5
となるので、
A:B:C = Arccos(5/7):Arccos(19/35):Arccos(1/5)
です。
Arccos は cosの逆関数です。

済みません。

>sinA =5t, sinB = 6t, sinc = 7t とおけて
>A=Arcsin(5t),B=Arcsin(6t),C=Arcsin(7t)
>ですので角度の比は
>Arcsin(5t) : Arcsin(6t) : Arcsin(7t)
>となります。

ここでtを出さないといけないことを忘れてました。
このまま計算すると、大変ややこしくなるので、私の#4の回答は無視してください。
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a=5k,b=6k,c=7k とすると
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc = 60k^2/84k^2 = 5/7
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>http://plaza.rakuten.co.jp/kishimi/050000
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参考URL:http://plaza.rakuten.co.jp/kishimi/050000

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