線形代数 Im f・Ker fの次元と基底

次の問題の解法と解答を教えてください。

行列A=
| 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
に対して、線形変換 f:R^3→R^3をf(x)=Axとする。
(1)Im fの次元と基底を求めよ。
(2)Ker fの次元と基底を求めよ。

No.1 回答者： negative-xe 回答日時： 2011/02/15 20:20

基本変形を行います。

基本変形とは行列に以下の操作を行うことです。
i列とj列をいれかえる
i列のすべての成分に０でない数cをかける（i列をc倍する）
j列にi列のc倍を足す
i行とj行をいれかえる
i行のすべての成分に０でない数cをかける（i行をc倍する）
j行にi行のc倍を足す
|1 2 3| 　　　|1 0 0|
|4 5 6| -> 　|0 1 0| とできますからIm f=2で次元定理dimR^3=Im f+Ker f　より　ker f=1
|7 8 9| 　　　|0 0 0|
　　　　　　
Im fの基底は行列Aの列ベクトルのうち２つ例えば(1,4,7),(2,5,8)
Ker fの基底は(1,-2,1)のように行列Aをかけて零ベクトルになるようなベクトル