正規化相関

正規化相関法と正規化相関係数の式の内容について詳しく教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/04/19 20:33

> 数式自身のもっている意味がよくわかりません

ああ、わかった。「相関係数」が分からないんですね。

「相関係数」は、統計で使う *代表値* のひとつです。
ふたつの標本値がどれくらい似た傾向を持っているかを
あらわす代表値として良く使われます。

式を書くのはかったるいし、テキストだけだとイメージが
わかないので、統計で使う「代表値」を解説している
ページを探してみました（→参考URL）。

真ん中あたりにある「標本相関係数」の定義をみてください。


この式のＸを li に、Ｙを Mi に読み替えて、式を変形した
のが、補足に書いてもらった r(u,v) の式になります。

統計を知らないと、変形が難しいかもしれないので、一部分だけ
解説しておきます。

相関係数の分母の左側、Σ(Xi-XX)^2 の変形を考えます。本当は
_
X と書きたいのだけれど、テキストでは書きにくいので、XX と
書いています。これは、X の平均を表していて、以下の定義に
なります。

　　XX = ΣXi ÷ n

で、話を戻して、式の変形です。Σ(Xi-XX)^2 で Σ は全体に
２乗も含めてかかっています。より正確に書くと

　Σ [ (Xi - XX)^2 ]
＝Σ [ Xi^2 - 2 Xi XX + XX^2 ]
＝Σ Xi^2 - 2 XX Σ Xi + n XX^2

ここで、Σ XX^2 → n XX^2 です。XX^2 は定数ですから、
シグマを取ると ×n ですね。続けます。

さっき書いた平均の定義をみてください。式を変形すると

　　n XX ＝ Σ Xi

になるのが分かるでしょうか。これを先ほどの式の第二項に
適用すると、

　Σ Xi^2 - 2 XX Σ Xi + n XX^2
＝Σ Xi^2 - 2 XX n XX + n XX^2
＝Σ Xi^2 - 2 n XX^2 + n XX^2

で、第二項と第三項が n XX^2 で括れますから、

　Σ Xi^2 - 2 n XX^2 + n XX^2
＝Σ Xi^2 - n XX^2

です。平均の定義を思い出して XX を Σ Xi で置きかえると、

　Σ Xi^2 - n XX^2
＝Σ Xi^2 - n (Σ Xi ÷ n)^2
＝Σ Xi^2 - (Σ Xi)^2 ÷ n

です。同様に、分母の右側、分子を変形して、分母・分子に
n をかけると、補足してもらった式になります。

参考URL：http://econom01.cc.sophia.ac.jp/sda/correg.htm

この回答へのお礼

大変参考になりました。
有り難うございました。

お礼日時：2001/04/19 22:35

No.1 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/04/19 16:06

あまり詳しくないのですが、画像処理の話をしてます？

たしか、物体の位置検出をするための手法だったはず。

あらかじめ、決まったパターンの画像を用意しておいて、
それと、対象画像との相関係数(*)を求める。

　　(*) 相関係数は、統計で使われているものと同じ
　　　　ある画素の位置のパターン画像と対象画像を
　　　　ペアとみなして、相関係数を求めるはず

相関係数はわかります？

この回答への補足

モデルと、画像オフセットでの対応する部分との相関係数ｒは以下のようになります。

r(u,v)=[ＮΣIi・Mi-(ΣIi)・(ΣＭi)]/[{ＮΣIi^2-(ΣIi)^2 }・{ＮΣMi^2-(ΣＭi)^2｝]^1/2

ここで、N：ピクセルの総数
Ii：（u+xi,v+yi）での画像ピクセル値
（u,v）は画像オフセット
Mi：相対オフセット（xi,yi）での対応するモデルピクセル値

モデルと対象画像が「完全な一致」の場合r=1.0、
「完全な不一致」の場合r=-1.0となるようなんですけど…、
Ii=Miであれば、「完全な一致」し、すべてのピクセル値が同じで
Ii=-Mi であれば「完全な不一致」、つまり明暗が完全に反転している。
ということは分かるんですが、
数式自身のもっている意味がよくわかりません。

補足日時：2001/04/19 18:50