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数学IIの単元で「円の方程式」というものがありますが、なぜ円の"関数"ではなく、"方程式"というのでしょうか?

方程式→解くもの(例:2次方程式、連立方程式)
関数→グラフに描くもの(例:二次関数、指数関数)
というイメージがあるので、ものすごい違和感があります。

どなた様か納得のできる回答を頂けませんでしょうか?
宜しくお願いします。

gooドクター

A 回答 (4件)

「円の方程式」と呼ぶ理由は、その方程式の解であるような(x, y)を座標とする平面上の点の集まりが、円だからです。


関数は実数などの各値に別の1つの値を対応させるルールです。

例えば二次関数f(x)=x^2は各実数xに実数x^2を対応させます。
この関数fのグラフは、y=x^2を満たす(x, y)を座標とする平面上の点の集まりです。
だから、y=x^2を「放物線の方程式」と呼んでもいいと思います。
またfを「放物線の関数」と呼んでも通じる気はします。

しかし例えば原点を中心とする半径1の円の方程式は
x^2+y^2=1
つまり
y=√(1-x^2)またはy=-√(1-x^2)
ですから、x (-1≦x≦1)を変数とする関数の式と見なそうとしても、各x(-1<x<1)について2つ値を持つため厳密には関数ではありません。
しかし例えば
y=√(1-x^2)
だけなら「上半円の方程式」とでも呼ぶべきものであるしf(x)=√(1-x^2)は「上半円の関数」と呼んでもいいかもしれません。
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この回答へのお礼

関数は機能(function)であり、方程式は文字通り"式"というわけですね。
全くの別概念であることが理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/03/07 19:40

こんばんわ。



>方程式→解くもの(例:2次方程式、連立方程式)
>関数→グラフに描くもの(例:二次関数、指数関数)

「関数」はグラフに描くものというよりも、
ある変数:xの値を代入すると、その値に対応した値:yを導き出すもの
(単純に言えば、1対1対応になっているもの)
その対応関係を表しています。
中学校の授業で「関数」の最初にそういう話があったかと思います。

次に、グラフを描くことを考えます。
グラフというのは「点の集まり」になります。
そして、その点(の座標)が満たしている式が「方程式」になります。
「x, yが満たすべき式が方程式」とでもいえばいいでしょうか。

直線や円、放物線というのは、すべて図形の名前になっています。
つまり、このような図形の上にある点が満たすべき式は「方程式」と呼ばれます。
「直線の方程式」とも言ってますよね。


最後に、y=・・・のように書き下せる関数を「陽関数」と呼びます。
これに対して、y^2= 4- x^2のように明らかに y=・・・の形にできないものは「陰関数」と呼ばれます。
ですので、まったく「関数」と呼ばないわけでもありませんが。
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数学用語の定義によれば


関数:独立変数Xの値が決まると、従属変数Yの値が決まるとき、YはXの関数という。
   (例)Y=X+1・・・一般的にはY=f(X)で表す
方程式:未知数を含む等式を方程式という。
   (例)X^2+Y^2=R^2
   (注意)似かよった形をしていても、独立変数Xと従属変数Yの関係を見たい場合もある
      例えば上の方程式を変形して、Y=±√(R^2-X^2)を関数という。
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関数とは f(x) などと、データを変換して別の値にするものですが、円の方程式は X^2+Y^2=1 というように f(x) の形を「見掛け上」取っていないからだと思います。



関数とグラフは、数学の定義上は全く関係ないものです。たまたま2次関数とかはグラフに書けますが、高次関数などはグラフに書けませんので。
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