出産前後の痔にはご注意!

有理関数の原始関数を求める(積分する)ときに、その有理関数を部分分数分解するケースがあると思います。

この部分分数分解はある程度センスでやるものですか?

部分分数に分解する手順等があれば教えてほしいです。

よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

>この部分分数分解はある程度センスでやるものですか?



すばやくやろうと思うと、前もって数式を見るセンスはあった方が有利ですが、
それなりの原則はあって、それにしたがって練習していけば、センス自体も
だんだん身についてくる、程度のものでもあります。

一番、簡単なケース、分母が、2次式で、1次式の積に因数分解できるような場合は、
A/一次式1 + B/一次式2 = (A*一次式2 + B*一次式1)/2次式 で、
分子が元の式の分子に一致するように、A,Bを決めるのが、基本のやり方。

センスを身に付けたいなら^^、まずは、1/一次式1 ± 1/一次式2 を計算してみて、
どちらかの分子が元の分子と似た形、大抵は定数倍とかになるので、2倍になってたら
全体を半分する、とか、そういう方向から考えて、それでうまくいかない場合には、
上の方法で、連立方程式を解く、などとやっていくようにすると、簡単な場合は、
一目で見えるようになるので、長い目でみると、時間の節約になるかと。

元の分母が3次式で、1次式と2次式の積に因数分解できるときなら、
A/一次式 + (Bx+C)/二次式 のような形で考えます。

勿論、どの場合でも、分子の次数≧分母の次数のときは、帯分数化というか、
普通の多項式になる部分は、別にして、分子の次数<分母の次数にしておかないと
いけません。

また、分子が、分母を微分した形の定数倍を含むとき、
たとえば、(4x+5)/(x^2+x+1)なら、
(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
となり、前半は、簡単に2*log(x^2+x+1) と積分できるので、
こういうところも分けておくと、後がやりやすくなります。

センス、というか、色々、総合的な知識が問われるようなケースとしては、
(x^2+1)/(x^4+1) のような場合、分母が、
x^4+1 = x^4+2x^2+1-2x^2 = (x^2+1)^2 - (√2*x)^2 = (x^2-√2*x+1)(x^2+√2*x+1)
と因数分解できることに気づかないと、永遠に固まったままになってしまいます。

1/(x^2-√2*x+1) + 1/(x^2+√2*x+1) = (2x^2+2)/(x^4+1) なので、元の式は、左辺の半分、

もうひとつは、部分分数分解しても、一つ一つの分数式が積分できないと意味がない訳ですが、
上の2例のようなパターンの場合、たとえば、x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4 ならば、
x + 1/2 = (√3/2)tanθのような置換で、積分することができます。

質問者さんが高校生だとしたら、このあたりまで必要になるのは、相当の難関大学の入試だと思いますが。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

追加で、1点だけ教えてください。

まず、

(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)

ではないでしょうか?

で、後半の3/(x^2+x+1)は

x + 1/2 = (√3/2)tanθ

置いて置換積分できるとのことですが、

x + 1/2 = (√3/2)t

とかの間違いではないでしょうか?

補足日時:2011/03/19 17:05
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#1です。

すみません、ご指摘の件、私のミスタイプでした。m(__)m
(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
が正しくて、質問者さんも、2行目修正し損ねたのとオアイコということで
(さすがに、そういう訳にはいかないか^^)

>1/(x^2+1) の積分は、置換しなくてもすでに、tan^(-1)xですよね?

なるほど、大学生さんでしたか。てっきり、高校生かと思って回答書いてました。
そこらへんのバックグラウンドは、書いておくと、より適切な回答が得られますよ。
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この回答へのお礼

レスポンスどうもありがとうございました。

納得しました。

お礼日時:2011/03/21 14:24

#1さんの回答への補足について



>= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
>= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
>ではないでしょうか?

(x^2+x+1)'=(2x+1)
ですからその部分を置き換えただけです。
どうして、3がでてきたんでしょうか?


>x + 1/2 = (√3/2)t
>とかの間違いではないでしょうか?

1/(x^2+1) の積分は、x=tanθと置いて置換積分するのが常道です。
x + 1/2 = (√3/2)tanθ
と置くのはその応用です。
x + 1/2 = (√3/2)t
と置いてもいいですが、そのあとさらにt=tanθと置くことになりますから、結局は同じことです。

この回答への補足

ちょっと書き方が悪かったです。

もともと、式が

(4x+5)/(x^2+x+1)

となっていたので、

(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)

が正しいのでは?という指摘でした。

1/(x^2+1) の積分は、置換しなくてもすでに、tan^(-1)xですよね?

だから、この形にもっていくもんだと思っていました。

補足日時:2011/03/20 11:18
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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む


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