数学の問題です (回転楕円体)

Question

数学の問題についてです。

今、個人で高校生の家庭教師(近所絡みのアルバイト)をしていて、
先日高校の春休みの宿題(先生の手作りプリント?)を見たのですが、

(x^2 / a^2) + (y^2 / 4a^2) = 1 の楕円を
y軸まわりに回転させたときにできる表面の方程式を求めよ

という問題がわかりませんでした。

http://wwwsoc.nii.ac.jp/geod-soc/web-text/part4/4-1/4-1.html

上記URL先を参照する限り

{ (x^2 + z^2) / a^2 + (y^2 / 4a^2) = 1

が回転楕円体の表面の方程式だと思うのですが、導出過程が
わかりません。

どなたか導出過程から解説をお願いいたします。

WiredLogic · Accepted Answer

#1です。

うっかり、
＞x^2 + z^2 = a^2 - y^2
の最後に「/4」を付け忘れてたので(気づかれたとは思いますが)
質問していただけて、ちょうどよかったです。

＞下の説明の方が理解してもらえそうな気がしますが、
＞試験等で解くときは上の説明の方を書いた方が良いでしょうか?

う～ん、入試や模試なら、説明の筋が通っていれば、どっちでも構わないと思うのですが、学校のテストだと、先生の好みとかもあったりするので、気になるなら、先生に聞いた方がいいかも。

＞また、積分は使わなくてもこの問題は解けるのかと聞かれたのですが
＞積分を利用して解く方法があれば教えてください。
＞(積分を用いる場合、表面積や体積を求める方法しか分からないので…)

方程式を、積分で求める？　円とか球の方程式を積分で求めるような手が
あれば、それを応用すれば、と、思いますが、さすがにそういう手はない
と思います。

逆に、体積を、積分使わずに求めるのであれば、
半径aの球の体積が、(4/3)πa^3、
この回転楕円体は、それを、y軸方向「だけ」に
2倍に引き伸ばしたものだから、
体積は、２倍の、(8/3)πa^3、

こういう話がうまく伝わらなかったんじゃないでしょうか？

WiredLogic · Answer

どこから手をつけるかは色々ありますが…

y軸周りに回転させるので、この回転楕円体を、xz平面に平行な面で切った断面は円になりますから、この円の方程式から考えて見ます。

この、xz平面に平行(y軸に垂直）な面を、y = t とおくと、
xy平面での楕円の式が、x^2/z^2 + y^2/(2a)^2 = 1 だから、
x^2 = a^2 - t^2/2、このxは、 断面の円の半径になります。

断面の円の式は、中心が(0,t,0)、半径が√(a^2 - t^2/4)、で、xz平面に平行なので、
x^2 + z^2 = a^2 - t^2/4, y = t
tが変化していけば、断面の円も連続的に変化していきます。

ここで、この媒介変数t を、消去すれば(というか、y=tだったので、yと置き換えれば)
x^2 + z^2 = a^2 - y^2、これを変形すれば、ご質問の式になります。

計算でなく、もっとストレートに出す手もあって、

たとえば、中心が原点、半径がaの球の式は、x^2 + y^2 + z^2 = a^2 です。

図を描けば明らかですが、この回転楕円体の、x,z軸方向の径は、a、y軸方向の径は2a なので、
上の球を、y軸方向・上下に２倍に引き伸ばしたものが、回転楕円体です。

あるグラフを、(原点を中心に)y軸方向に２倍に引き伸ばしたグラフの式は、
yのところにy/2を代入したもの(三角関数とかでやりましたよね)になるので、
x^2 + (y/2)^2 + z^2 = a^2、これも変形すれば、ご質問の式です。

#1です。