整数問題

xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす
xとpは存在しないことをしめせ。

　a^2<p^5+p^2+1<(a+1)^2 となるaが存在することを示せばいいと
考えましたが、このあとがわかりません。素数の条件がどこで利くのかも
想像が付きません。よろしくアドバイスお願いします。

No.14 ベストアンサー 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/04/01 15:02

#10お礼のあなたの方針で行けそうですね。

もうやったかもしれないけど。
シンプルでいいと思います。

(1) 4n(n+1)=p^2(p^3+1)

で次のどちらか：
(2) n=ap^2 (aは整数)
(3) n=bp^2 (bは整数)

(1)の場合、(1)に代入してaについて解き、
a=(-1±√(p^3+2))/(2p^2)。
変形して
x=2n+1=2ap^2+1=±√(p^2+2)。
（この形に持って行くのはaについて解かなくてもできるか。）
両辺2乗して仮定の等式のx^2に代入し、矛盾を導く。
(3)も同様。

(2)(3)に場合分け出来ることの証明は大丈夫ですか?

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございます
確かめていただきありがとうございます
(2)(3)の場合分けというのは、・・・・

お礼日時：2011/04/04 09:45

No.19 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/04/08 05:18

#13です。

p=3(mod4)
p=4(mod5)だから
p=19(mod20)
p≧19
と考えてみましたが結局
#5の方の回答でよいと思います。
#5の方の考え方に基づいて質問者の方の
「
x=2n+1として
4n(n+1)=p^2(p^3+1)、pが素数だから考えられるのは、次の２つで
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
これについて、整数aとbが存在しないことを導く方法
」について考えます。

xは整数で,pは素数で
x^2=p^5+p^2+1となる
↓1<2√pだから
(p^2√p)^2=p^5<x^2<p^5+2p^2√p+1=(p^2√p+1)^2
↓[p^2√p]をp^2√pの整数部分とするとpは素数でp^2√pは整数とならないから
[p^2√p]<p^2√p<x<p^2√p+1
↓
[p^2√p]<x≦[p^2√p+1]=[p^2√p]+1
↓xは整数だから
x=[p^2√p]+1

x=2n+1とすると
2n=[p^2√p]
2n<p^2√p

4n(n+1)=p^2(p^3+1)

(1)n=ap^2のとき
4ap^2(ap^2+1)=p^2(p^3+1)
4a(ap^2+1)=p^3+1
4a^2p^2+4a=p^3+1
4a-1=p^2(p-4a^2)≧p^2

2n<p^2√p
2ap^2<p^2√p
2a<√p
4<pだから→2<√p
4a<2√p<(√p)^2=p
p^2≦4a-1<p
p<1
となって矛盾する

(2)n+1=bp^2のとき
4(bp^2-1)bp^2=p^2(p^3+1)
4(bp^2-1)b=p^3+1
4b^2p^2-4b=p^3+1
4b+1=p^2(4b^2-p)≧p^2

2n<p^2√p
2(bp^2-1)<p^2√p
2bp^2<(p^2√p)+2
2b<√p+(2/p^2)
9<pだから→3<√p
→(√p-3)(√p+1)=p-2√p-3>0
→2√p+3<p
4b+1<2√p+(4/p^2)+1<2√p+3<p
p^2≦4b+1<p
p<1
となって矛盾する

No.18 回答者： multipul 回答日時： 2011/04/07 07:00

#17です。

p≡4だったから
x≡0 or x≡3
これは導けませんでした。先の回答を取り消します。混乱させてすみません。

No.17 回答者： multipul 回答日時： 2011/04/03 06:24

整数yが5の倍数でないなら、y^4≡1 (mod 5)

(フェルマーの小定理などを知ってるとなおよい)

以下特に断らない場合、5を法として考える。
pは5の倍数でない(と少し考えれば分かる)から、p^4≡1
ここからp^2,p,p^5,p^5+p^2+1を5で割った余りを場合分けして考えると
p^5+p^2+1≡1 or 2 or 3
p^5+p^2+1≡x^2≡0 or 1 or 4

以上から p^5+p^2+1≡x^2≡1
そのとき p≡4
x≡1 or x≡4

p(p^4+p)=(x-1)(x+1)
x≡1(mod p) or x≡-1(mod p)
(「abが素数pで割り切れるならaかbはpで割り切れる」を使った)
p≡4だったから
x≡0 or x≡3
これはx≡1 or x≡4と矛盾する

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
あっさりと証明できているようなので少しあっけにとられていますが
じっくりと考えたいとおもいます
５の倍数の余りで考えるのですか・・・

お礼日時：2011/04/04 09:50

No.16 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/04/01 15:06

もう一つ誤記入。

x=...=±√(p^3+2)。

No.15 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/04/01 15:05

誤記入。

(3) n+1=bp^2

No.13 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/04/01 03:31

#11です。

#11のp≠4(mod5)は誤りでした。#11の回答を取り消します。
x=0(mod4)→x^2=0(mod4)
x=1(mod4)→x^2=1(mod4)
x=2(mod4)→x^2=0(mod4)
x=3(mod4)→x^2=1(mod4)
p=1(mod4)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod4),x^2≠3(mod4)だからxは整数でない
→p=3(mod4)
x=0(mod5)→x^2=0(mod5)
x=1(mod5)→x^2=1(mod5)
x=2(mod5)→x^2=4(mod5)
x=3(mod5)→x^2=4(mod5)
x=4(mod5)→x^2=1(mod5)
だからx^2≠3(mod5),x^2≠2(mod5)
pは奇素数だから
p=0(mod5)のときp=5→x^2=3151,x=56.1…だからxは整数でない
p=1(mod5)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
p=2(mod5)のとき
x^2=2^5+2^2+1=2(mod5),x^2≠2(mod5)だからxは整数でない
p=3(mod5)のとき
x^2=3^5+3^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
→p=4(mod5)
後は考え中です。

No.12 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/31 16:41

#10お礼へ

#10間違いだらけです…。
誤答の連続でごめんなさい。

>x=2n+1とすると
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
p素数だから
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)

n=a*p^2かn+1=b*p^2であるとは言えそうですね。
それぞれでa<p、b<pとできるかどうかは、私は分かりません。

No.11 回答者： muturajcp 回答日時： 2011/03/31 03:50

p=2のとき

x^2=2^5+2^2+1=37→x=√37=6.08…
→xは整数でない
→p≠2
→p=1(mod2)は奇素数となる
→x^2=1^5+1^2+1=1(mod2)は奇数となる
x=0(mod5)→x^2=0(mod5)
x=1(mod5)→x^2=1(mod5)
x≠2(mod5)
x=3(mod5)→x^2=4(mod5),x^2≠4(mod5)→x≠3(mod5)
x≠4(mod5)
だからx^2≠3(mod5)
pは奇素数だからp≠2(mod5),p≠4(mod5)
p=0(mod5)のときp=5となるから
x^2=5^5+5^2+1=3151,x=56.1…だからxは整数でない
p=1(mod5)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
p=3(mod5)のとき
x^2=3^5+3^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
∴
xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす
xとpは存在しない

この回答への補足

追伸
あと、他にも自分には難しいところがいくつかあるのですが
１２行目のpは奇素数だからp≠2(mod5),p≠4(mod5)がどうしてかな
と考えています

補足日時：2011/03/31 09:04

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
xを５で割った余りで場合分けして考えれば
いいのかと思いました。その方針で考えたいと思います。
８行目までは、理解できましたが、
９行目のx≠2(mod5)が、どうしてそういえるのか分かりませんでした。
教えてもらえればと思いました。

自分でも他の回答を参考にいろいろ考えたのですが、x=2n+1として
4n(n+1)=p^2(p^3+1)、pが素数だから考えられるのは、次の２つで
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
これについて、整数aとbが存在しないことを導く方法を考えました。
この考え方に何かアドバイスがあれば幸いです。

お礼日時：2011/03/31 08:41

No.10 回答者： noname#130496 回答日時： 2011/03/30 18:24

#9お礼へ

場合分け(1)(2)は、自分でもおかしいと思います。
忘れてください。

m=1が成り立たなければならないことはもっと簡単に示せそうです。

k^2p^2+2kpm+m^2=p^2(p^3+1)+1
だから、左辺をpで割った商がp(p^3+1)、余りが1です。
k^2p^2+2kpmはpで割り切れます。
一方、mはpを因数として持たないので、m^2はpで割り切れません。
よって、m^2=1であり、（m≧0より）m=1。

でいい気がしますが、勘違いかもしれないので、確認してください。

m=1なら
k^2p^2+2kpm=k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
ですね。

次に、場合分け(4)(5)について。
繰り返しになりますが、右辺がkで割り切れる場合を2つに分けたのです。
(1) pがkで割り切れる
(2) p^3+1がkで割り切れる
のどちらかしかありません。
その他の場合は、この2つのどちらかに含まれていると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
回答を参考にさせてもらい、自分なりに場合分けを次の２つにできるのでないかと
思いました。
x=2n+1とすると
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
p素数だから
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)

回答にある場合分けと何か似ているような気もしますが・・・

お礼日時：2011/03/31 09:01