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200以上500以下の自然数の中で7で割ると5余り
13で割ると11あまるものは何個あるか?(黄色チャートの問題です)

という問題について質問です。解答では
「7で割ると5あまる数は7(K-1)+5=7K-2

13で割ると11あまる数は
13(Lー1)+11=13Lー2

よって7K-2=13Lー2(K,Lは自然数)
を満たす。よって7K=13L
7と13は互いに素であるからKは13の倍数である。
ゆえにK=13n(nは自然数)とあらわされて
題意の数は7×13n-2すなわち91n-2
条件を満たす自然数は初項89公差91の等差数列の各項となっている。
200以上500以下の自然数のなかでは、3,4,5
が該当し、答えは3個である」

とあったのですが、前半部分がわかりません。
「7で割ると5あまる数は7(K-1)+5=7K-2
13で割ると11あまる数は
13(Lー1)+11=13Lー2」
とあらわしていますが、7で割ると5あまる数は7K+5
13で割ると11あまる数は13L+11
ではないんでしょうか?なぜ7(K-1)+5=7K-2
、13(Lー1)+11=13Lー2とあらわしているのでしょうか?
どこからの7(K-1)+5、13(Lー1)+11はきたのでしょか?

もしかして、その後の計算で
7K-2=13Lー2(K,Lは自然数)
とあらわすことによって、共通のマイナス2が消去できて
「7K=13L
7と13は互いに素であるからKは13の倍数である。
ゆえにK=13n(nは自然数)」と表すために、
両方に共通の数字がでるような式に変形したのでしょうか?

A 回答 (5件)

7 で割ると 5 あまる数は、


7X+5 と書いても、7(Y-1)+5 と書いても、7(Z-2)+5 と書いてもよいです。
X が整数であることと、Y が整数であることと、Z が整数であることは同値です。
X = N で置き換えれば 7N+5 となるし、Y = N で置き換えれば 7N-2 となります。
変数名のつけ方の違いに過ぎません。

7 で割ると 5 あまり、13 で割ると 11 あまる全ての数は、
そのような数のひとつを M として、M + (7 と 13 の最小公倍数)×(任意の整数)
と表されます。これは有名な定理なので、知っていてもよいかと思います。
質問の解答例は、要するに、M = -2 という解があることに気づいちゃったよ
…と言っているのです。なぜ気づいたのかについては、書いてありません。
よく気づいたね、おめでとう…とでも言ってあげるしかないでしょう。
K-1 や L-1 に、何か特別な技法が隠されている訳ではないのです。
貴方も、山勘で M = -2 が発見できるといいですね。

山勘が発達していない場合は、
7 で割ると 5 あまる数が 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, …
13 で割ると 11 あまる数が 11, 24, 37, 50, 63, 76, 89, …
と探していって、共通の数 M = 89 を見つけるとよいでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

教えていただいた別解のほうでも
といてみたいと思います。

お礼日時:2011/03/30 15:12

←A No.4



-2 が +1 になっただけかな。

なぜ 7(m+1)-13(n+1)=0 とあらわしているのでしょうか?
どこからの 7(m+1)、13(n+1) はきたのでしょか?
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この回答へのお礼

私も、回答をしていただいた文を読んだとき、
そこの部分が分からなかったのですが、
まあいいか、と飛ばしていました。。。。

どこからきたのでしょうね?
NO4さんにもう一度質問してみますね。

お礼日時:2011/04/01 21:46

そんな解答なら、数列なんて言わずに、最初から不定方程式の問題として解決すると良い。



求める自然数をNとすると、N=7m+5=13n+11 と表せる。但し、mとnは非負の整数。
7m+5=13n+11 より 7(m+1)-13(n+1)=0 だから、7(m+1)=13(n+1)
7と13は互いに素から、kを整数として、m=13k-1、n=7k-1 になるから、N=7m+5=13n+11=91k-2.
条件から、200≦91k-2≦500 kは整数から 3≦k≦5 より求める個数は 3個。
実際に、k=5、4、3 とすると N=453、362、271.

この回答への補足

質問なのですが、7m+5=13n+11 より 7(m+1)-13(n+1)=0 
という部分がわかりません。
7(m+1)-13(n+1)=0 は
どこからきたのですか?

補足日時:2011/04/01 21:46
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この回答へのお礼

ありがとうございます。こんな解答もあるのですね。
参考になります。

お礼日時:2011/03/30 15:17

7で割ると5余る数は、12、19,26・・・ではなく


5,12,19・・・なのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。そういうことだったんですね。おかげですっきりいたしました。

お礼日時:2011/03/30 15:09

K,Lは自然数に採っているのでK=1,2,3,,,,,L=1,2,3,,,


となり、
7で割ると5あまる数の最初の数5を含めるためには7(K-1)+5
とする必要があります。
13で割ると11あまる数も同様に11を含めるために13(Lー1)+11
としています。
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この回答へのお礼

なるほど!!!そういうことですね。納得しました。ありがとうございます。

お礼日時:2011/03/30 15:08

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