ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

△OABで、OA↑=a↑、OB↑=b↑とおき、|a↑|=√3、|b↑|=2、|2a↑-b↑|=2√2とする。
さらに、△OAB内に点Hをとり、OH↑=sa↑+tb↑とおく。

(1)内積a↑・b↑を求めよ。 答:2


(2)OH↑とb↑-a↑が直交するとき、sとtの関係式を求めよ。 答:s=2t


(3)点Hが△OABの垂心であるとき、sとtの値を求めよ。 答:s=1/2 ,t=1/4



(1)、(2)は問題なく解けたのですが、(3)が分かりません。
垂心だから、こんな条件が生まれるなどがあるのでしょうか?
途中式をできるだけ詳しく教えてください。

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A 回答 (1件)

点Hが垂心ということは


AH⊥OBなので
AH↑=OH↑-OA↑
=(sa↑+tb↑)-a↑
=(s-1)a↑+tb↑

よって
((s-1)a↑+tb↑)×b↑=0が成り立ちます
(s-1)a↑b↑+t|b↑|^2=0
2(s-1)+4t=0
2s-2+4t=0

ここで垂心ということは(2)の結果も使えます
s=2tを代入
4t-2+4t=0
8t=2
t=1/4
s=1/2
になります
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