出産前後の痔にはご注意!

子供の春休みの宿題で困っています
 
 5
n  - n が5の倍数である証明をしなさい。

A 回答 (3件)

n^5-n


=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
は連続する5つの数ですから、必ずどれかが5の倍数になってます。
5n(n-1)(n+1)
も当然5の倍数です。
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No.2さんの解答面白いですね。



 特にn^2+1=n^2-4+5 ところが、素晴らしい!

  勉強になりました。
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nの5乗ーnでしょうか?


n^5-n=n(n^4-1)
     =n(n^2+1)(n^2-1)
     =n(n^2+1)(n+1)(n-1)

・nが5の倍数である場合、上記の式の値は5の倍数になります。
・nが5の倍数+1の場合n-1が5の倍数なのでやはり上式の値は5の倍数です。
・nが5の倍数ー1の場合n+1が5の倍数なので上式の値は5の倍数になります。
・nが5の倍数+2の場合n=5m+2と表されるので
 n^2+1=(5m+2)^2+1
      =25m^2+20m+5
でn^2+1が5の倍数となり、上式の値が5の倍数になります。
・nが5の倍数-2の場合、n=5m-2と表されるので
 n^2+1=(5m-2)^2+1
      =25m^2-20m+5
でn^2+1が5の倍数となり、上式の値が5の倍数になります。
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この回答へのお礼

早々にありがとうございました。

お礼日時:2011/04/05 23:45

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