中学代数問題

子供の春休みの宿題で困っています
　
　5
ｎ　　－　ｎ　が5の倍数である証明をしなさい。

No.2 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2011/04/05 23:03

n^5-n

=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)＝(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
は連続する５つの数ですから、必ずどれかが５の倍数になってます。
5n(n-1)(n+1)
も当然５の倍数です。

No.3 回答者： kenjoko 回答日時： 2011/04/06 07:15

No.２さんの解答面白いですね。

　特にn^2+1=n^2-4+5 ところが、素晴らしい！

　　勉強になりました。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/04/05 22:49

ｎの５乗ーｎでしょうか？

ｎ＾５－ｎ＝ｎ（ｎ＾４－１）
　　　　　＝ｎ（ｎ＾２＋１）（ｎ＾２－１）
　　　　　＝ｎ（ｎ＾２＋１）（ｎ＋１）（ｎ－１）

・ｎが５の倍数である場合、上記の式の値は５の倍数になります。
・ｎが５の倍数＋１の場合ｎ－１が５の倍数なのでやはり上式の値は５の倍数です。
・ｎが５の倍数ー１の場合ｎ＋１が５の倍数なので上式の値は５の倍数になります。
・ｎが５の倍数＋２の場合ｎ＝５ｍ＋２と表されるので
　ｎ＾２＋１＝（５ｍ＋２）＾２＋１
　　　　　　＝２５ｍ＾２＋２０ｍ＋５
でｎ＾２＋１が５の倍数となり、上式の値が５の倍数になります。
・ｎが５の倍数－２の場合、ｎ＝５ｍ－２と表されるので
　ｎ＾２＋１＝（５ｍ－２）＾２＋１
　　　　　　＝２５ｍ＾２－２０ｍ＋５
でｎ＾２＋１が５の倍数となり、上式の値が５の倍数になります。

この回答へのお礼

早々にありがとうございました。

お礼日時：2011/04/05 23:45