エネルギーとして+εか-εしか取れないN個の粒子が
温度Tで熱平衡状態にある系について考えています。
エネルギーが+εの粒子の個数をN+ -εの粒子の個数をN-として
M = N+ - N- と置きます。

このときN+及びN-を温度Tの関数として表せ、という問題です。

とりあえず分配関数などを計算したりしてみたのですが、なかなか解答に辿りつけません。
解法等をご教授いただけるとありがたいです。

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A 回答 (3件)

No.1の方法で計算できるのですが、より簡単な方法です。



粒子が+εのエネルギを持つ確率P+εは、β=1/kTとして、
ボルツマン分布の式より
P+ε= exp(-βε)/Z
同じく、粒子が-εのエネルギを持つ確率P-εは、
P-ε= exp(βε)/Z

Zはこの系の分配関数で、次式で与えられる。
Z = N *{ exp(-βε) + exp(βε)}
ただし、N = N+ + N-

よって、
N+ = N*P+ε= N*exp(-βε)/ { exp(-βε) + exp(βε)}
N- = N*P-ε= N*exp(+βε)/ { exp(-βε) + exp(βε)}
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失礼しました。


分配関数に間違ってNを乗じてしまいました。
正しくは
Z = exp(-βε) + exp(βε)
です。
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二準位系の問題はほとんどの教科書に出ているはずです。



状態数W
W=N!/[N+!*N-!]

S=klogWとスターリングの公式を用いてエントロピーを計算します。

Sがわかれば、エネルギーで偏微分することで温度がわかります。


大学演習熱学、統計力学 P207を参照のこと
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