数学の問題です。

円(Xの2乗+Yの2乗=20)に接し、直線2x+Y=10に垂直な直線の方程式を求めよ。

わからないので教えてください。
過程を教えていただきたいのです。


補足教科書の問題なのですが最終的な答えだけは載ってます、

Y=1/2x+5  Y=1/2x-5

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A 回答 (3件)

受験対策はされてありますので、ごくごく 亀さんな方法を。



与えられている直線、Y=-2X+10 (移行しただけです)に

垂直な直線 Y=aX+b を考えて見ます。

垂直な直線なのですから、「傾きの積」が -1 になればいいことは分かられますか?

例) Y=X に垂直な直線は Y=-X+any (anyはなんでもいいんです、実数なら)

  グラフを書かれてみてください。


これによって、a=1/2 はすぐ出ますね♪

あとは、円に接するのですから、共通な点を持つはず。

X^2+Y^2=20 に Y=1/2 X +b を放り込んで、

これを整理して解けば、OKです。

ここで注意は、Xは重解を持たないといけませんよ。2点で接すると、円を貫通してしまいますね。

この時間に計算は辛いので確認してみてください。

m(_ _)m
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方法は、いくつか考えられる。


微分を使う手もあるが、それは考えないとして。
いずれにしても、2x+y=10に垂直な直線は、y=x/2+a で表される事に気がつかなければ話にならない。


(解法-1)
直線:y=x/2+a ‥‥(1) と円:x^2+y^2=(√10)^2 ‥‥(2) が接するから、yを消去したxの2次方程式が重解を持つ → 判別式=0

(解法-2)
直線:y=x/2+a ‥‥(1) と円:x^2+y^2=(√10)^2 ‥‥(2) が接するから、点と直線との距離の公式を使うと、円の中心である原点から直線(1)との距離が、円の半径の√10に等しい。

どちらにしても、a=±5 になる。自分で計算して確認してみて。
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こんな公式走っていますか。



x^2+y^2=r^2

上の点(p,q)における接線は

px+qy=r^2    (1)

受験には必須のこうしきです。必ず使いこなしてください。
楕円や放物線、双曲線でも同様に成り立ちます。
詳しくは参考書を調べてください。

問題の場合、(1)は

px+qy=20     (2)

これが直線

2x+y=10 (3)


に直交するには傾きの積が-1です。

つまり

(-p/q)・(-2)=-1

これから

q=-2p      (4)

当然

p^2+q^2=20 (5)


(4),(5)より


p=2, q=-4

p=-2,q=4

これを(2)に代入すれば答えが得られます。
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