1~15と書かれたカードが2枚ずつ、30枚あるとします。
6枚めくって数字が重ならない確率を求めたい場合、以下の考え方であってるでしょうか?

(1) 1枚目は何が出ても関係無いため、確率は30/30
(2) 2枚目に1枚目と違うカードが出る確率は、28/29
(3) (2)を満たした上で、3枚目に1、2枚目と違うカードが出る確率は、26/28
(4) (3)を満たした上で、4枚目に1~3枚目と違うカードが出る確率は、24/27
(5) (4)を満たした上で、5枚目に1~4枚目と違うカードが出る確率は、22/26
(6) (5)を満たした上で、6枚目に1~5枚目と違うカードが出る確率は、20/25
(7) (1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)=704/1305=0.539・・・
(8) よって答えは約54%

 あってる気もするんですが、間違ってる気もします。
 計算方法、答えともにあっているかどうか、どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

No.1です。


お礼ありがとうございました。

組合せの計算はご存じでしょうか?
選び取る順番を無視できる状況で、例えば6個の中から4個のものを選び取る場合、
  6C4 = 6×5×4×3/4×3×2×1 = 15[通り]
となる類です。

〈参考:組合せの考え方と公式〉
http://www.ne.jp/asahi/license/ikawa17/info_2/ko …

さて、確率の基本は、各パターンの可能性が等しい場合、
  (その条件を満たす場合の数)/(全ての場合の数)
です。
この場合は、
  (6枚めくって数字が重ならない場合の数)/(6枚めくる全ての場合の数)
となります。

ここで分子は、15種類の数字から6種類の数字を選び取るパターンの個数が、
  15C6 = (15×14×13×12×11×10)/(6×5×4×3×2×1) = 5005
で、それぞれの数字について2枚ずつ同じものがあるので、
  5005×2×2×2×2×2×2 = 5005×2^6 =320320
となります。
(例えば同じ数字のカードにそれぞれA、Bと記号を付けた場合、1A-2A-3A-4A-5A-6Aと、1B-2A-3A-4A-5A-6Aは別のものとして数えなければならないということです)

そして分母は、
  30C6 = (30×29×28×27×26×25)/(6×5×4×3×2×1) = 593775
なので、結果としては、
  320320/593775 = 0.539… ≒ 54%
となります。

ここでは便宜上、分子分母をいったん計算しましたが、実際にはそれぞれ因数のまま、
  (15×14×13×12×11×10)/(6×5×4×3×2×1)= 13×11×7×5
  (30×29×28×27×26×25)/(6×5×4×3×2×1)= 29×25×13×9×7
をそれぞれ用いて、
  (13×11×7×5×2^6)/(29×25×13×9×7) = (11×2^6)/(29×9×5)
  = 0.539… ≒ 54%
と、比較的簡単に計算できます(計算機による計算は参考URLも参照)。

ご質問文の方法は直観に即していて非常に良いのですが、例えばカードの枚数やめくる枚数が2倍、3倍となったとき、計算が飛躍的に面倒になってしまいます。
ですので、状況に応じて使い分ける、あるいは複数の方法で計算して正確性を確認するなどできれば、なお良いと思います。

参考URL:http://www.google.co.jp/#q=((15+choose+6)+*+(2^6))+%2F+(30+choose+6)
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この回答へのお礼

 なるほど、このchooseというのが今回ポイントとなる式なんですね。親切丁寧にありがとうございました。

>で、それぞれの数字について2枚ずつ同じものがあるので、
>  5005×2×2×2×2×2×2 = 5005×2^6 =320320
>となります。

 この2^6の部分が応用の時にどうなるのかまだちょっとよくわかりませんが、教えて頂いたサイト等を見て自分なりに勉強してみようと思います。
 今回は本当にありがとうございました。

お礼日時:2011/04/09 10:17

計算方法、答えともに合っています。



ただ、もし組み合わせの数を計算する方法をご存じでしたら、もっとスマートに答えを出せると思うのですが、その辺りはいかがでしょうか。
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この回答へのお礼

 お答えありがとうございます、ひとまず合っているとのことで、ほっとしました。

 そして今回はこの質問の答えがわかれば良かったので、これで終わりにしてもよかったのですが、もしよろしければスマートな解法も教えて頂けないでしょうか。多分、汎用的な式とかになる……のかな?
 どうぞよろしくお願いします。

お礼日時:2011/04/07 22:18

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