X1, X2, ..., Xn, を独立した N(0, 1) 確率変数とする。

次を証明せよ。

limit (n→oo) P{ | (X1+X2+...+Xn)/n^α | > δ} =
α>.5の場合は0
α=.5の場合は正数
α<.5の場合は1

補足:δ>0とする

どう入っていったらいいのか、足がかりすらつかめていません。
どなたか教えてください。お願いします。

A 回答 (2件)

中心極限定理ですね。


個々の Xk については、平均と分散が判れば十分で、
正規分布である必要は、特にありません。

中心極限定理を使って、α=0.5 の場合が
計算できるので、それを使えば、
他の場合も求められます。
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Sn=X1+...+Xnの分布は分かりますか?


分かれば、P{ | (X1+X2+...+Xn)/n^α | > δ}=2P{Sn>δn^α}で、これはSnの密度関数の積分として表せますね。
後はその積分を、極限をとりやすい形にするだけです。
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