例えば12の約数は 1,2,3,4,6,12 ですよね?
では12の因数も 1,2,3,4,6,12 でよろしいでしょうか?

因数は1や12も含むものなのか、そうでないのか、「因数」の定義を読んでも
よくわかりません。

ご回答よろしくお願いいたします。

A 回答 (6件)

> 素数でない整数は、その整数より小さい数個の整数の積の形に表せるが、


> そのそれぞれの整数を元の整数の因数とよぶ。

そのサイト(http://www.suriken.com/knowledge/glossary/factor …)の
記述は、単に間違っています。もう少しマシなものを参考にしましょう。
例えば…
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-t …
http://kotobank.jp/word/%E5%9B%A0%E6%95%B0
http://www.app-pc-soft.jp/apcsoftedu/F399FBFC.html
など。

12 は 12 の因数のひとつである…とするのが常識です。
1 もまた、12 の因数のひとつです。
尚、-1, -2, -3, -4, -6, -12 が 12 の因数であることも
忘れるべきではありません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。参考にさせていただきます。

お礼日時:2011/04/11 10:04

No.4です。

補足と訂正があります。


>素数でない整数は、その整数より小さい数個の整数の積の形に表せるが、そのそれぞれの整数を元の整数の因数とよぶ。とあります。前に答えていただいた方のように、整数の場合は因数=約数でよろしいでしょうか?
「その整数より小さい・・・」となると、12の場合、12自身は因数ではないということに
なりますよね?

1と12は因数には含まないということです。

訂正  12=1×12の場合は考えないこととする。

また、12=2×6の場合が抜けていました。

>例えば12の約数は 1,2,3,4,6,12 ですよね?
では12の因数も 1,2,3,4,6,12 でよろしいでしょうか?

12の因数は 2,3,4,6ということになります。

 >上の例からすると1,2,3,4,6,12はどれも因数になる資格はあるが、を

上の例からすると2,3,4,6はどれも因数になる資格はあるが、に訂正します。


定義では「1とその数自身以外に約数持つ数を合成数と呼び、1とその数自身以外の約数を
その数の因数という」となっています。

質問者はこのように覚えて下さい。




>約数=因数と考えるのは間違いだと思います。
ここの部分と、「整式」については、は機会があったら、改めてやりましょう。 
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。

お礼日時:2011/04/11 09:58

こにゃにゃちは、よく調べましたね



>素数でない整数は、その整数より小さい数個の整数の積の形に表せるが、そのそれぞれの整数を元の整数の因数とよぶ。とあります。前に答えていただいた方のように、整数の場合は因数=約数でよろしいでしょうか?
「その整数より小さい・・・」となると、12の場合、12自身は因数ではないということに
なりますよね?

12=1×12=2×2×3=3×4と表わすことが出来ます。
のとき、12=1×12の因数は1と12
    12=2×2×3の因数は2、2、3
これを1×2×2×3としても無意味ですので、この場合1は因数からはずします。
 同様に12=3×4の因数は3、4

>例えば12の約数は 1,2,3,4,6,12 ですよね?
では12の因数も 1,2,3,4,6,12 でよろしいでしょうか?

 上の例からすると1,2,3,4,6,12はどれも因数になる資格はあるが、
約数=因数と考えるのは間違いだと思います。 

ここまでは、手前みそですので参考程度に

付録

>素数でない整数は、「その整数より小さい数個の整数の積の形に表せる」が
これから1も素数ではないが、「その整数より小さい数個の整数の積の形に表せる」は
当てはまりませんね。ということで、1は特別な数と考えられます。

数学も上級に進んでいきますと
1=1×1、ー1×ー1、1/2×2、・・・etc
と考えないと、解けない問題が沢山出て来ます。

また、質問してください。
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これは非常に面白い質問ですね、



>「因数」の定義を読んでもよくわかりません。

「因数」の定義にはどのような説明がなされていましたか?

補足して下さい。
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この回答へのお礼

http://www.suriken.com/knowledge/glossary/factor …

素数でない整数は、その整数より小さい数個の整数の積の形に表せるが、そのそれぞれの整数を元の整数の因数とよぶ。

とあります。前に答えていただいた方のように、整数の場合は因数=約数でよろしいでしょうか?
「その整数より小さい・・・」となると、12の場合、12自身は因数ではないということに
なりますよね?

お礼日時:2011/04/09 00:50

> 例えばx(x+1)(x+1)の因数は、


> x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)も
> 因数と呼べないでしょうか?
>
> また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も
> 因数と呼べないでしょうか?

呼んで良いと思いますよ。
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対象が整数の場合、約数=因数です。


対象が数式の場合、x^2+3x+2の因数は(x+2)と(x+1)ですが、これらを約数とは呼びません。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-t …
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
対象が式の場合についても伺いたいのですが、

例えばx(x+1)(x+1)の因数は、
x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)も
因数と呼べないでしょうか?

また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も
因数と呼べないでしょうか?

よろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/04/08 13:58

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Q完全数と素数

1〜nまでの和をS_nとする

S_3=6
S_7=28
S_31=496


と現れる完全数は、いわゆるメルセンヌ素数ということでいいのでしょうか?
また、S_nが完全数ならば、nは素数はフェルマーの小定理などで素数であるといい切れますか?

Aベストアンサー

偶数の完全数についてはその通り. 証明は Euler がしてるよ.

奇数の完全数については... そもそも存在するかどうかがわかっていないからなんともいえない.

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q完全数について

自分自身を除いた約数の和が、自分自身に等しいものを完全数といいます。 例えば6の約数は、1,2,3,6で、6を除いた1,2,3の和は6ゆえ完全数です。 では、奇数の完全数は存在するのでしょうか? また、完全数は無限にあるのでしょうか? 有限とすればいくつ有るのでしょうか? 教えてください。 

Aベストアンサー

偶数の完全数については
nが自然数で{2^(n+1)}-1が素数のとき
(2^n)(2^(n+1)-1)…(1) は完全数である。
ということが証明されています。
p=n+1とおくと
完全数は {2^(p-1)}{(2^p)-1}となります。
p=2,3,5,7,13,…,30402457,32582657,…に対して
完全数が
6,28,496,8128,33550336,…
と出てきます。非常に大きな完全数になりますのでスーパーコンピューターを使って相当大きな完全数まで計算されていますね。上限は計算機の能力しだいですね。

一方、奇数の完全数が満たすべき条件は明らかになっていますが、あるとすれば300桁よりも大きい完全数ということがわかっています。
でもまだ見つかっていません。
詳細は参考URLでご覧あれ。

参考URL:http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/yogo.html

Q2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,..

初項を2、第2項を7とします
すべての項は一桁とします。
隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
(説明が下手でごめんなさい。。。)
つまり
2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...
といった具合です。
これが6を無限個含むことを示せという問題なんですが、見当がまったくつかず。。。
ちょっと思いついたのは偶数をかけるとどんな数字でも一桁目は偶数になるので、偶数は無限個あるというのだけで、、、
規則性が見えるかなとおもっていろいろ書き出したのですが、何もわからず。。。

ヒントでもいいのでお願いします

Aベストアンサー

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さて、「数列には6が高々有限個しか現れない」と仮定すると、数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうNが存在しなくてはならない。

 一方、数列中にひとたび(1616)が現れると、それより後ろに(666)が出て来る。
 (666)が現れると、それより後ろに(363636)が出て来る。
 (363636) が現れると、それより後ろに (1818181818) が現れ、さらにその後ろに (888888888) が現れ、さらにその後ろに(6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
  :
 ループです。つまり、どこまで行っても、それより後ろに(6464…6464)という部分が必ず存在する。

 だから、「数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうN」は存在しない。
 

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さ...続きを読む

Q等差数列と完全数

初項が自然数、公差が3、項数が2個以上の等差数列が考えられます。
そのような等差数列の和で表現できる自然数と表現できない自然数があります。
(表現できる自然数の例)66=19+22+25

一方、完全数は自分以外の約数の和が自分自身に等しい数のことです。
具体例としては、6、28、496、8128、33550336などです。

私の質問は、完全数(偶数の完全数)は、上記の等差数列で表現”できない”自然数である、という予想についてです。
私は、最初の4個の完全数はPCで、上記の等差数列の和という形で表現できないことを確かめてみました。ただ、それ以上の完全数についてはわかりません。
これがすべての完全数について当てはまることなのか教えてください。

Aベストアンサー

奇数の完全数は無いと予想されていますが、未解決問題です。奇数の完全数がもしあった場合にこの性質を持つかはわかりません。

偶数の完全数については完全にわかっていますから、この予想は正しいことが証明できます。
偶数の完全数は
2^m-1が素数の場合に 2^(m-1)(2^m-1)が完全数となり、この形以外の完全数はありません。
一方、初項a,項数n、公差3の等差数列の和はn(2a+3n-3)/2 です。
nが偶数だと2a+3n-3は奇数となりますから、完全数であればn=2^m またはn=2^m-1の場合しかありえませんが、どちらにしても矛盾が出て来るのを確認して下さい。

Q10^nの正の約数を小さい順に並べ、a1 a2,,,,,,,af(n)

10^nの正の約数を小さい順に並べ、a1 a2,,,,,,,af(n)とします。これらの約数の10を底数とする対数をとり、さらにそれらの和を計算したとき、2010を超えるのは、nがいくつのときでしょうか

Aベストアンサー

10^n=2^n*5^n
なので、10^nの約数は、
2^i*5^j (i=0,1,2,・・・,n、j=0,1,2,・・・,n)

それら約数の対数の和Sは、
S=Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]log(2^i*5^j)
=Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]{i*log2+j*log5)}
=(Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]i*log2)+(Σ[i=0~n]Σ[j=0~n]j*log5)
=(n(n+1)^2*log2/2)+(n(n+1)^2*log5/2)
=n(n+1)^2(log2+log5)/2
=n(n+1)^2/2

n=15のとき、S=1920
n=16のとき、S=2312
より、求めるnは
n=16

Q完全数と疑似完全数の違いって何?

テレビを見ていたら「496は完全数」だと言っていた。
何のことかとインターネットを見て、説明に納得したのですが、同じ検索結果に「疑似完全数」というのがあり、見てみると「完全数」と同じ内容であった。
もしかしたら、読み足りていないのかもしれませんが、違いを説明していません。
どなたか、違いを分かり易く説明してもらえませんか!
なお、数学はとても苦手な私ですので、そこを何とか分かるようにお願いいたします。

Aベストアンサー

私も数学は苦手です
なのでちゃんとした正解かどうかはわかりませんが、分かるきっかけになるかと思い回答します。

完全数とは  →自然数aで、a以外の約数(1を含む)の和がaに等しいとき、aを完全数という。
だそうです。

そして
擬似完全数とは→、自然数のうち自身を除くいくつかの約数の和が元の数に等しい数のことである。
とあります。
擬似完全数の場合「自身をのぞくいくつかの約数」とあります。 このいくつかの約数という点が完全数とのちがいではないでしょうか。

たとえば40が擬似完全数だそうですが
・・・・・40の約数の内 1,4,5,10,20 を選ぶと、それらの和は 1+4+5+10+20=40 と元の数に等しくなるので擬似完全数である。・・・・
との事で約数の内何個か選んでの和・・らしいです。40は完全数にはならないですね、2と8が抜けてますし。
なので擬似完全数には奇数の数字もあるそうです。

ここらへんが違いなのではないでしょうか。

素人がwiki等で調べた結果なので、鵜呑みにされると火傷するかもしれません。

Q6の約数の和って、6の約数・・・1、2、3、6だか

ら、(6の約数の和)=1+2+3+6=12という事になるんですか?

Aベストアンサー

おっしゃるとおりです。

Q28より大きい完全数を求める方法

その数が完全数かどうかを判定するのは容易にできますが、

ある数よりも大きい自然数の中で、最小の完全数を見つけたい場合、
そのすべてを調べて行く方法以外に良い方法はありますか?

方程式を作ってみようとしましたが、上手くいきません。

ヒントだけでも良いのでお願いいたします。

Aベストアンサー

奇数の完全数についてはあるのかないのかすらまだわかっていませんが、偶数の完全数についてはユークリッド原論にも式が書かれていて、それがすべてであることがオイラーによって証明されています。

Nが偶数の完全数であるための必要十分条件は、(2^k)-1が素数になるような自然数kを用いて
N=(2^(k-1))((2^k)-1)
と書けることである。

なお、(2^k)-1が素数になるためにはkが素数でなければならないことが容易に示されます(kが素数でも(2^k)-1が素数でない場合はある)ので、kに素数を代入しながら確かめれば偶数の完全数を並べることができます。
なお、この(2^k)-1の形をした数をメルセンヌ数といいます。メルセンヌ数が素数かどうかはうまい判定法があるため、現在大きな素数を探す時は、だいたいメルセンヌ素数を探すようにしています。実際今確認されている最大の素数もその次の素数もメルセンヌ素数ですし、したがって、それを用いて巨大な完全数を計算できる理屈になります。

Q次の数を大小順に並べろ (1)2^36,3^24,6^12 (2)3の4乗根、5の6乗根、7の7乗根

次の数を大小順に並べろ
(1)2^36,3^24,6^12
(2)3の4乗根、5の6乗根、7の7乗根
(3)log3の2、log7の4、2/3
途中式をわかりやすく教えていただけると嬉しいです

Aベストアンサー

(1) 同じべき乗の形に統一すればよい。
  2^36 = 2^(3*12) = (2^3)^12 = 8^12
  3^24 = 3^(2*12) = (3^2)^12 = 9^12
  6^12
これで比べられますね。
  6^12 < 2^36 < 3^24

(2) 同じようにやればよい。
  3^(1/4) = 3^(21/84) = (3^3)^(7/84) = 27^(7/84) = (3^7)^(3/84) = 2187^(3/84)
  5^(1/6) = 5^(14/84) = (5^2)^(7/84) = 25^(7/84)
  7^(1/7) = 7^(12/84) = (7^4)^(3/84) = 2401^(3/84)
よって
  5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/7)

(3) これは2つずつ比をとってみればよいかな。

 log[3]2 = log(2)/log(3) = x
 log[7]4 = log(4)/log(7) = 2log(2)/log(7) = y
とおけば
 x/y = log(7) / 2log(3) = log(7) / log(9) < 1

 2/3=z とおくと
 x/z = (3/2)log(2)/log(3) = 3log(2) / 2log(3) = log(8) / log(9) < 1
 y/z = (3/2)log(4)/log(7) = 3log(4) / 2log(7) = log(64) / log(49) > 1

よって
 x<z<y → log[3]2 < 2/3 < log[7]4

(1) 同じべき乗の形に統一すればよい。
  2^36 = 2^(3*12) = (2^3)^12 = 8^12
  3^24 = 3^(2*12) = (3^2)^12 = 9^12
  6^12
これで比べられますね。
  6^12 < 2^36 < 3^24

(2) 同じようにやればよい。
  3^(1/4) = 3^(21/84) = (3^3)^(7/84) = 27^(7/84) = (3^7)^(3/84) = 2187^(3/84)
  5^(1/6) = 5^(14/84) = (5^2)^(7/84) = 25^(7/84)
  7^(1/7) = 7^(12/84) = (7^4)^(3/84) = 2401^(3/84)
よって
  5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/7)

(3) これは2つずつ比をとってみればよいかな。

 log[3]2 = ...続きを読む


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