A= (a b c)
  (b 1 0)
  (c 0 1)

に対してa>-1で|A|>0ならば、Aの固有値も正であることを示せ。

という問題がわかりません。Aは3×3行列を表しています。
どのように固有値を出すのかもよくわかりません・・ご回答よろしくお願いします
 

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A 回答 (2件)

単位行列I=[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]


のx倍
xI=[x,0,0],[0,x,0],[0,0,x]
を考え,行列式

det(xI-A)

を計算
(x-1)^2*(x-a)-c^2*(x-1)-b^2*(x-1)

因数分解して
(x-1)*(x^2-a*x-x-c^2-b^2+a)
=0
とおいて,解くと固有値が出ます。

問題になるのは,右側のカッコの面倒な2次式ですね。
でも,解いてみましょう。

x=
-(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)-a-1)/2  ・・・(1)
(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)+a+1)/2   ・・・(2)
と二つの解になります。

ルートsqrtは正なので,(2)の解で
a>ー1
なら必ず正になります。

一方,
Bの行列式
det (B)=-b^2-c^2+a >0
ならば

a>b^2+c^2 ・・(3)
であり

解(1)のsqrtの中を見て

4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1
=4*(c^2+b^2)+a^2-2*a+1 < 4*a+a^2-2*a+1 = a^2+2*a+1 = (a+1)^2  ・・・(4)
となります
(3)を代入したのです。

a>ー1
より
sqrt((a+1)^2)

ルートをはずして
a+1

結局
-(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)-a-1)>-((a+1)-a-1)>0

であり,左側の解も正になります。
解はマイナスがつくので,(4)と不等号が逆になるところ注意です。

だいたい計算はこんなところです。

厳密さは,誰かフォローしてくれるかも。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2011/04/08 18:45

v = 転置(x,y,z) と置いて


二次形式 (転置v)Av を平方完成すると、
= (a-bの2乗-cの2乗)xの2乗 + (bx+y)の2乗 + (cx+z)の2乗
となります。
|A|= a - bの2乗 - cの2乗 > 0
であれば、
(転置v)Av ≧ 0
が常に成り立ちますね?
よって、A は正値行列であり、
その固有値は全て正です。
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Q行列のベキ乗(固有値が虚数の時)

先に、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1137580
で質問させていただいた者です。

2x2の行列で、固有値が実数のときには、ジョルダン化を用いてベキ乗の計算ができるようになりました。

が、固有値が虚数のときにも同様の方法で解けるのでしょうか?
実部と虚部に分けて計算したり、虚数平面を用いたりすることで計算できるのでしょうか?

Aベストアンサー

先日も回答させていただいたadinatです。実はあの投稿のあとkeyguy様の投稿を読んで勘違いに気づいたのですが、投稿する前に締め切られていたので投稿できずじまいでした。僕のいった方法でももちろんn乗計算はできるのですが、ジョルダン標準形まで持っていくとn乗計算はわざわざ漸化式を解くようなことをしたなくても計算できそうです。もちろん一般にk×k行列でも計算できそうですね。

ところで2×2の行列について、固有値が虚数になる場合ももちろん標準形にすることはまったく同様の方法で可能です。また実係数の行列の場合、固有値は必ず二つとも実数になるかあるいは共役な虚数(a±bi)になります。すなわち虚数の固有値が出る場合は、必ず対角化されます(異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するからです)。

というわけでもし実係数(当然整数係数の行列も含みます)の2×2行列ならば、
(1)対角化される(対角成分には二つの実数(同じ場合も含む)、あるいは互いに共役な複素数)
(2)対角化されないがジョルダン標準形にできる(ただしこの場合は対角成分はともに同じ実数になり、残る成分は1です)
の二つに必ず変形することができます。いずれの場合もn乗計算は大変容易であると思います。

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Q行列の問題です 3 0 1 A=-1 2 -1 -2 -2 1 という行列の固有値を全て求めた上で、

行列の問題です
3 0 1
A=-1 2 -1
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という行列の固有値を全て求めた上で、この行列のn乗を計算したいです。
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Q4a+b=1 3a-c=1 3b+4c=-1 の3つの式を使ってa.b.cを求めることはできますか?

4a+b=1
3a-c=1
3b+4c=-1 の3つの式を使ってa.b.cを求めることはできますか?

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理由は、上二つの式から三つ目の式が出来るので、
実質二つの式しかない事になりますから。

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現代制御において,システムは状態方程式と出力方程式でA,B,C,(D)行列を用いて記述されますが,システムの応答が振動的になる時は必ず,A行列の固有値に少なくとも一つ以上,虚数部が表れるのでしょうか?

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f(a+√b)=c+√b
ならば
f(a-√b)=c-√b
は成り立ちますか。
√の中は変わらないので計算後も√bのままでいいでしょうか。

f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

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反例:
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f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
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---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
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 f(a-√b) = c - √b
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Q主成分分析の固有値について

主成分分析を行うとき、行列の固有値問題を解きますよね。
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初歩的な質問ですみませんが、どうか教えて頂きたいと
思います。

Aベストアンサー

なかなか回答が無いので私から,
私は応用統計学の学位があり,企業でSQCを普及する立場にある者です.

主成分分析は,主成分軸の分散(固有値)が大きい順にスペクトル分解し
データを縮約して見る方法ですので,
「固有値の絶対値の大きい順に見る」というのは,意図としては正解です.
時々,このような発想(負値も含んで大きい順)をされる方がみえます.

しかし,分散共分散行列を出発行列にしても,相関係数行列を出発行列にしても
それらは,いずれも半正定値行列ですので,固有値は非負です.

従って,ご質問の回答ですが,「そのようなケースはありません」となります.

(分散共分散行列が半正定値行列になるということは,ここの質問にあります.
基準化したデータの分散共分散行列が相関係数行列ですので,
分散共分散行列が半正定値なら,相関係数行列が半正定値であることは自明です)

なお,主成分分析の軸上の分散は固有値に等しいと書きましたが,
その分布はχ^2分布です.

これは,関連知識として覚えておいて損はありません.

Q対称行列A、Bの全固有値が正のとき、A+Bの固有値

問題

対称行列A、Bの固有値がすべて正であるとき、
A+Bの固有値はすべて正か?

**

上記の問題が分からなく困っています。
お分かりの方、証明または反例をお願い致します。

Aベストアンサー

A>0、B>0とはどういう意味かお教えくださいませ。>>

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%AE%9A%E5%80%A4%E6%80%A7

Q固有値の値について

固有値の値を求めよ。という問に対して固有値λ=0,1
という値が出た場合は固有値は0と1でいいのでしょうか?固有値に0ってありますか?

Aベストアンサー

固有値が 0 でも問題はありません。

行列 A、縦ベクトル u に対して、
Au = λu
を満たすλを固有値、u を固有ベクトルといいます(普通、u を大きさ1のベクトルとします)。一般に I を単位行列として
|A-λI|=0
として計算します。λ=0 ということは、|A|=0であったということです。

Q≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a,b,cに対して,F=(3

≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a,b,cに対して,F=(3-a)(3-b)(3-c)とおく。このとき,a,b,cが条件を満たしながら動く時のFの最大値を求めよ。

≪自分の考え≫
展開してみても、特に何も見えず…
文字を消したとしても、1つまで…

どうしたいいのかわかりません^^;

Aベストアンサー

変形に気が付けば、1発で終わり。

3-a=b+c、3-b=c+a、3-c=a+b であるから、F=(b+c)*(c+a)*(a+b)。
a>0、b>0、c>0より、相加平均・相乗平均から、(b+c)+(c+a)+(a+b)≧3(3)√{(b+c)*(c+a)*(a+b)}
a+b+c=3から、6≧3(3)√{(b+c)*(c+a)*(a+b)}。
3乗すると、F≦8.
そして、等号成立は?

文字が全て正の時は、相加平均・相乗平均が使えないか、を疑ってみると良い。


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