A= (a b c)
  (b 1 0)
  (c 0 1)

に対してa>-1で|A|>0ならば、Aの固有値も正であることを示せ。

という問題がわかりません。Aは3×3行列を表しています。
どのように固有値を出すのかもよくわかりません・・ご回答よろしくお願いします
 

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A 回答 (2件)

単位行列I=[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]


のx倍
xI=[x,0,0],[0,x,0],[0,0,x]
を考え,行列式

det(xI-A)

を計算
(x-1)^2*(x-a)-c^2*(x-1)-b^2*(x-1)

因数分解して
(x-1)*(x^2-a*x-x-c^2-b^2+a)
=0
とおいて,解くと固有値が出ます。

問題になるのは,右側のカッコの面倒な2次式ですね。
でも,解いてみましょう。

x=
-(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)-a-1)/2  ・・・(1)
(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)+a+1)/2   ・・・(2)
と二つの解になります。

ルートsqrtは正なので,(2)の解で
a>ー1
なら必ず正になります。

一方,
Bの行列式
det (B)=-b^2-c^2+a >0
ならば

a>b^2+c^2 ・・(3)
であり

解(1)のsqrtの中を見て

4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1
=4*(c^2+b^2)+a^2-2*a+1 < 4*a+a^2-2*a+1 = a^2+2*a+1 = (a+1)^2  ・・・(4)
となります
(3)を代入したのです。

a>ー1
より
sqrt((a+1)^2)

ルートをはずして
a+1

結局
-(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)-a-1)>-((a+1)-a-1)>0

であり,左側の解も正になります。
解はマイナスがつくので,(4)と不等号が逆になるところ注意です。

だいたい計算はこんなところです。

厳密さは,誰かフォローしてくれるかも。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2011/04/08 18:45

v = 転置(x,y,z) と置いて


二次形式 (転置v)Av を平方完成すると、
= (a-bの2乗-cの2乗)xの2乗 + (bx+y)の2乗 + (cx+z)の2乗
となります。
|A|= a - bの2乗 - cの2乗 > 0
であれば、
(転置v)Av ≧ 0
が常に成り立ちますね?
よって、A は正値行列であり、
その固有値は全て正です。
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