指数法則について
a^(xy)=(a^x)^y ただしx、yは無理数とする。これを証明してください。 ここでb^x=inf(B) また B={b^s|s∈Q,x∈R-Q,s>x}}

A 回答 (2件)

x≠0,a≠0のとき


0^x=0≠1=a^0だから
0^0は定義できないから
a≠0とする
(-1)^{2(1/2)}=-1≠1=((-1)^2)^{1/2}だから
a<0のときx,y∈Qであっても
a^{xy}≠(a^x)^yだから
a>0とする
a^x=inf{a^s|s∈Q,s>x}
∀s∈Q→a^s>0だから
a^x>0
0<t∈Q
0<a<b→a^t<b^t

(a^x)(a^y)≠a^{x+y}を仮定すると
0<∃ε<|(a^x)(a^y)-a^{x+y}|
0<∃δ<min(ε/(a^x+a^y),ε,1)/2
a^x=inf{a^s|s∈Q,s>x}だから
→∃s∈Q(a^x≦a^s<a^x+δ)
a^y=inf{a^t|t∈Q,t>y}だから
→∃t∈Q(a^y≦a^t<a^y+δ)
0<(a^x)(a^y)≦(a^s)(a^t)<(a^x+δ)(a^y+δ)=(a^x)(a^y)+δ(a^x+a^y)+δ^2<(a^x)(a^y)+ε
|(a^x)(a^y)-a^{x+y}|<ε<|(a^x)(a^y)-a^{x+y}|
となって矛盾するから
(a^x)(a^y)=a^{x+y}
(a^x)(a^{-x})=a^0=1
a^{-x}=1/(a^x)

x>0,y>0のとき
(a^x)^y≠a^{xy}を仮定すると
0<∃ε<|(a^x)^y-a^{xy}|
a^{xy}=inf{a^u|u∈Q,u>xy}だから
→∃u∈Q,u>xy,a^{xy}≦a^u<a^{xy}+ε
u/y>xだから
u/y>s>x,s∈Qとなるsがある
t=u/sとすると
t∈Q
t=u/s>y>0
a^x≦a^sだから
(a^x)^y≦(a^x)^t≦(a^s)^t=a^{st}=a^u<a^{xy}+ε
|(a^x)^y-a^{xy}|<ε<|(a^x)^y-a^{xy}|となって矛盾するから
(a^x)^y=a^{xy}
∴x>0,y>0→(a^x)^y=a^{xy}

x>0,y<0のとき
(a^x)^y=1/[(a^x)^{-y}]=1/a^{-xy}=a^{xy}
x<0,y>0のとき
(a^x)^y=[1/(a^{-x})]^y=1/a^{-xy}=a^{xy}
x<0,y<0のとき
(a^x)^y=1/[{1/(a^{-x})}^{-y}]=1/(1/a^{xy})=a^{xy}

この回答への補足

質問の仮定で抜けていた条件があります a>1あるいは1>a>0,bについても同様です。申し訳ない。

補足日時:2011/04/12 16:05
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。背理法で証明するのですね。私は直接証明でかんがえていましたがだめでした。仮に背理法で考えてもεをあのように選ぶことは出来なかったでしょう。

お礼日時:2011/04/12 16:13

その定義によって、bのx乗 が x について連続


になることを、εδ式で示せばよいのでしょう。
連続であれば、有理数のときの指数法則が
実数でも同様に成立します。
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単振動の合成によって

z=√31sin(2t+a)/12+1/12 (4)

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http://searchina.stockdatabank.jp/flash/s.cgi?sel=533&page=1
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たとえば
第九法則と大十法則は、対偶を取ると「成功したら心は日本人」ということになり、検証しようのない心の問題に踏み込んでいる段階で、法則ではない。

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>具体的に第二法則と第三法則は何を言っているのでしょう?

 第二法則は、太陽からの距離と惑星の速さの間に「面積速度一定」という関係がある、ということで、惑星が太陽のまわりを回る速さは、太陽に近いときに速く、遠いときには遅い、ということをいっています。

 第一法則と第二法則は、一つの惑星の運動についての法則といえます。例えば、火星の運動だけを追求しても発見できます。

 第三法則は、異なる惑星についての法則で、例えば火星の運動と木星の運動を比べて、その間にどんな関係があるか、ということです。太陽から遠い惑星ほど、太陽のまわりを回る公転周期が長いのですが、そこにあるのが、「惑星の公転周期の2乗は、軌道の半長径の3乗に比例する」という関係です。太陽から遠い惑星ほど太陽からの影響が小さい、ということの数量的な関係といえます。

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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC

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>具体的に第二法則と第三法則は何を言っているのでしょう?

 第二法則は、太陽からの距離と惑星の速さの間に「面積速度一定」という関係がある、ということで、惑星が太陽のまわりを回る速さは、太陽に近いときに速く、遠いときには遅い、ということをいっています。

 第一法則と第二法則は、一つの惑星の運動についての法則といえます。例えば、火星の運動だけを追求しても発見できます。

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電磁気学の独学中です。
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ケアレスミス修正

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なお、B(r)=∇×A(r)なるA(r)が存在するための必要十分条件は∇・B(r)=0である

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グリーンの定理は単に
∇・(ψ1(r)・(∇ψ2(r))
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(2)(1)の一般解を求めよ


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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>x をただ代入して y を t で表せばいいんでしょうか?
x や x^2 のところは代入して
    x = e^t、x^2 = e^(2*t) --- (0)
とすればいいですが、y'' と y' と y はそのままでは x の関数なので、それらを t の関数に直す必要があります。

それには合成関数の微分を使います。y は x の関数ですが、この x がさらに t の関数なら、 y を x で微分したものは
   y' = (dy/dt)*(dt/dx)
で表わされます。dy/dt を Y' と書けば
   y' = Y' *(dt/dx) --- (1)
となります。この問題の (1) は、与えられた微分方程式をこの Y を使った微分方程式に書き直せということです。

まず、問題文にあるように x = e^t ですから
   dx = e^t*dt
   → dt/dx = e^(-t) --- (2)
となります。(2) を (1) に代入すれば
   y ' = Y' * e^(-t) --- (3)
となって Y' を t の関数で表すことができます。

では y'' のほうはというと、これは (1) を x で微分すればいいだけです(関数の積の微分法を使う)。すると
   y '' = Y'' *(dt/dx)^2 + Y' *d^2t/dx^2
になります。式(2)から dt/dx = e^(-t) ですから上式は
   y '' = Y'' *e^(-2*t) + Y' *d^2t/dx^2 --- (4)
になります。d^2t/dx^2 というのは式(2)を x で微分したものなので
   d^2t/dx^2 = -e^(-t)*dt/dx = -e^(-2*t) --- (5)
です。式(5)を(4)に代入すれば
   y '' = Y'' *e^(-2*t) - Y' *e^(-2*t) --- (6)
これで y'' も Y で表すことができました。

Y というのは y を t の関数で表したときの関数を表しているので
   y = Y --- (7)
です( 正確に書くと y(x) = Y(t) ということになります。y を x で表したときと t で表したときは関数形が違うので違う記号を使っただけですが同じ関数を表しています)。

問題の(1)の答えは、上の(0)、(3)、(6)、(7) を元の微分方程式に代入したものです。その結果を整理すると、左辺は Y だけの関数、右辺は t だけの関数になるはずです。

問題(2)については、(1)の結果出てきた「2階の非斉次線形微分方程式」を解く問題です。それについてはここ(http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/lecture/difeq/difeq09-ans2.pdf)の問題3を参考にしてください。問題の(1)の微分方程式を解くと
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になりますが、もともと x = e^t ですから、t = ln(x) を上式に代入して Y を y に書き換えたものが最初の微分方程式の解
   y = x^2 + C1*x + C2*x*ln(x)
になります。

>x をただ代入して y を t で表せばいいんでしょうか?
x や x^2 のところは代入して
    x = e^t、x^2 = e^(2*t) --- (0)
とすればいいですが、y'' と y' と y はそのままでは x の関数なので、それらを t の関数に直す必要があります。

それには合成関数の微分を使います。y は x の関数ですが、この x がさらに t の関数なら、 y を x で微分したものは
   y' = (dy/dt)*(dt/dx)
で表わされます。dy/dt を Y' と書けば
   y' = Y' *(dt/dx) --- (1)
となります。この問題の (1) は、与えられた微...続きを読む


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