指数法則について
a^(xy)=(a^x)^y ただしx、yは無理数とする。これを証明してください。 ここでb^x=inf(B) また B={b^s|s∈Q,x∈R-Q,s>x}}

A 回答 (2件)

x≠0,a≠0のとき


0^x=0≠1=a^0だから
0^0は定義できないから
a≠0とする
(-1)^{2(1/2)}=-1≠1=((-1)^2)^{1/2}だから
a<0のときx,y∈Qであっても
a^{xy}≠(a^x)^yだから
a>0とする
a^x=inf{a^s|s∈Q,s>x}
∀s∈Q→a^s>0だから
a^x>0
0<t∈Q
0<a<b→a^t<b^t

(a^x)(a^y)≠a^{x+y}を仮定すると
0<∃ε<|(a^x)(a^y)-a^{x+y}|
0<∃δ<min(ε/(a^x+a^y),ε,1)/2
a^x=inf{a^s|s∈Q,s>x}だから
→∃s∈Q(a^x≦a^s<a^x+δ)
a^y=inf{a^t|t∈Q,t>y}だから
→∃t∈Q(a^y≦a^t<a^y+δ)
0<(a^x)(a^y)≦(a^s)(a^t)<(a^x+δ)(a^y+δ)=(a^x)(a^y)+δ(a^x+a^y)+δ^2<(a^x)(a^y)+ε
|(a^x)(a^y)-a^{x+y}|<ε<|(a^x)(a^y)-a^{x+y}|
となって矛盾するから
(a^x)(a^y)=a^{x+y}
(a^x)(a^{-x})=a^0=1
a^{-x}=1/(a^x)

x>0,y>0のとき
(a^x)^y≠a^{xy}を仮定すると
0<∃ε<|(a^x)^y-a^{xy}|
a^{xy}=inf{a^u|u∈Q,u>xy}だから
→∃u∈Q,u>xy,a^{xy}≦a^u<a^{xy}+ε
u/y>xだから
u/y>s>x,s∈Qとなるsがある
t=u/sとすると
t∈Q
t=u/s>y>0
a^x≦a^sだから
(a^x)^y≦(a^x)^t≦(a^s)^t=a^{st}=a^u<a^{xy}+ε
|(a^x)^y-a^{xy}|<ε<|(a^x)^y-a^{xy}|となって矛盾するから
(a^x)^y=a^{xy}
∴x>0,y>0→(a^x)^y=a^{xy}

x>0,y<0のとき
(a^x)^y=1/[(a^x)^{-y}]=1/a^{-xy}=a^{xy}
x<0,y>0のとき
(a^x)^y=[1/(a^{-x})]^y=1/a^{-xy}=a^{xy}
x<0,y<0のとき
(a^x)^y=1/[{1/(a^{-x})}^{-y}]=1/(1/a^{xy})=a^{xy}

この回答への補足

質問の仮定で抜けていた条件があります a>1あるいは1>a>0,bについても同様です。申し訳ない。

補足日時:2011/04/12 16:05
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。背理法で証明するのですね。私は直接証明でかんがえていましたがだめでした。仮に背理法で考えてもεをあのように選ぶことは出来なかったでしょう。

お礼日時:2011/04/12 16:13

その定義によって、bのx乗 が x について連続


になることを、εδ式で示せばよいのでしょう。
連続であれば、有理数のときの指数法則が
実数でも同様に成立します。
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