中学生の数学の問題を作っており、困っております。


例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか?


また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか?

また、12の因数の場合、答えは12の約数(1,2,3,4,6,12)でよろしいでしょうか?

因数の厳密な定義をご存知の方、よろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

因数は、対象となる数字または多項式を積に分解したときの


1つ1つの要素です。

数学的(哲学的)には因数は“存在”するのでしょうけど、
表示上の問題と考えるとよいかもしれません。

例えば、12=3×4
と表示できるので、3や4は12の因数です。
同様に、12=1×12
と表示できるので、1や12も12の因数です。
この意味で、12の約数はすべて12の因数です。 ※

12=(-2)×(-6)
とも表示できるので-2と-6も因数です。  ※



>例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
>x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか?
>また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか?
答えとしてよいと思います。



※ ただし、因数分解の範囲を十分に考慮しなければなりません。
  素因数分解の一意性を保ちたいのであれば、
   12=1×12=1×2×2×3
  という表示はこのましくないでしょうし、
  負の約数も考えてはいけないのでしょう。
  また、たとえば、複素数まで範囲を広げれば、
   12=(2+2√2i )(2-2√2i)
  のようにもかけますので、12の因数は無数に存在することになります。

  このように、因数の定義はかなりシビアなところがありますので、
  中学校ではその厳密な議論を避けるべきです。
  したがって、たとえば“12の因数は?”“12の因数の個数は?”というような
  “因数の定義”に根差した問題は、
  中学生にはふさわしくないものと私は思います。
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x(x+1)(x+1)に対し、「因数分解」するのであれば


x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになりますし、
1, 1^2, 1^3, ..... も答えになってしまいます。
それに対して、「素因数分解」するのであれば答えはx, (x+1), (x+2)の3種類に
限定されます。
12の因数の場合、素因数分解すると(2 x 2 x 3)に一意に決まります。
ところで、ここになぜか1が含まれない理由は私も最近になって知りました。
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質問するということはその定義が教科書に載ってないんですよね?



そうであれば、あなたが作ろうとしている問題にとって都合の良いよう、好きなように決めればいいのですよ。
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> 因数の厳密な定義



約数と同じ
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Q数学における定義という言葉の意味

数学にはよく・・・と定義するという言い方が出てきますが、数学における定義ということばの意味がよく分かりません。定義というのは発見の一種なのでしょうか。あるいは提案のようなものですか。誤った定義というのはないのでしょうか。定義を行うことができる資格というのは普通の人以上の能力や知識の持ち主に限られているものなのでしょうか。

Aベストアンサー

触れようか、どうしようか迷っていましたが、
rabbit_catさんが触れられたので私も一言。

ユークリッドの公理系の中の23の定義(Definition)には歴史的な意義しかないもの、要するに現代数学ではもはや定義とは成り得ないものがいくつか含まれています。

例えば、第一の定義「点とは部分を持たないものである」などがそれにあたります。
この文章には数学的な意味は全くありません。何故なら、定義とは決め事ですが、この文章では(数学的には)全く何も決めてはいないからです。

Q中学数学 x+y=1 1/x+1/y=-1 x>y

中学生です。
下の問題が解けません。
教えて下さい。
よろしくお願いします。

「式1」 x + y = 1
「式2」 1/x + 1/y= -1
「他条件」 x > y

Aベストアンサー

x+y=1…(1)

1/x+1/y=-1…(2)

(1)を変形して
x=1-y

これを(2)に代入する。

1/x+1/(1-x)=-1

分母を通分すると

1/x(x-1)=-1
式を変形すると x^2-x-1=0
x=(1±√5)/2…(3)

x>yなので x=(1+√5)/2
(1)に代入して
y=(1-√5)/2

Q定義の意味

「SGCライブラリ55 超幾何関数入門」という雑誌に記載されていた定義について
質問させていただきます。

添付画像の定義ですが、バックスラッシュ{0}の部分は何を意味しているのでしょうか?
Cは複素数を意味しています。

Aベストアンサー

バックスラッシュ \ は,「除く」という意味です.
四則演算のマイナス(-)に相当する記号です.
すなわち,C を複素数全体の集合とすると,
C^x:=C\{0} と書いて,この式の右辺は C の元から 0 を除く,と言う意味で,
C^x は 0 にはならない複素数全体の集合ということです.一般に,複素数 p∈C は,
実部と虚部が共に 0 ならば,p=0 となりますから,これを避けるための定義です.
なお,蛇足でしょうが,C\{0} の {0} は,0 だけを元としてもつ集合という意味で,
C\{0} を C\0 と書かないのは,C が集合で 0 は集合の意味は持たないためです.
0 のみを元としてもつ集合を {0} と書いて,集合同士の演算として,C\{0} と書くわけです.

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Q言葉の意味、定義。

なぜ、言葉にはいろんな定義があるんですか?

まず、言葉って誰かが作ったのですよね?ならばその作者の定義が正解なのではないのでしょうか?それなのに、愛とはなにか?とか正義とはなにか?みたいな質問がでるのはなぜなのでしょうか?

私は今まで辞書の意味が正しいと思ってきましたが、なんだか違うみたいでした。

言葉の定義は人それぞれで違うってのがいまいち理解できません。「山」っていう言葉でも、私が言う「山」と誰かがが言う「山」の意味は異なるのですか?

Aベストアンサー

 こんにちは。


 ★ 言葉の意味、定義。
 ☆ まづ 長いですが 《愛》についての次のような辞書の説明を見てみます。

 ▲ ( goo 辞書:愛) ~~~~~~~~~~
 http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/353/m0u/

 あい【愛】

 1 親子・兄弟などがいつくしみ合う気持ち。また、生あるものをかわいがり大事にする気持ち。「―を注ぐ」
  * ギリシャ語:στοργη(ストルゲー);ラテン語:amor ; love

 2 異性をいとしいと思う心。男女間の、相手を慕う情。恋。「―が芽生える」
  * Grk: ερωσ(エロース);Lat.:cupiditas; desire, love

 3 ある物事を好み、大切に思う気持ち。「芸術に対する―」
  * Grk: φιλια(フィリア);Lat.: dilectio; affection (?)

 4 個人的な感情を超越した、幸せを願う深く温かい心。「人類への―」
  * (前項に同じ?)

 5 キリスト教で、神が人類をいつくしみ、幸福を与えること。また、他者を自分と同じようにいつくしむこと。→アガペー
  * ’αγαπη(アガペー); charitas; grace, devotion

 6 仏教で、主として貪愛(とんあい)のこと。自我の欲望に根ざし解脱(げだつ)を妨げるもの。
  * 渇愛:サンスクリット〈トゥリシュナーtṛṣṇā〉;パーリ〈タンハーtaṇhā〉:
   http://kotobank.jp/word/%E6%B8%87%E6%84%9B


 ・・・
 [補説] 
 2013年10月に実施した「あなたの言葉を辞書に載せよう。」キャンペーンでの「愛」への投稿から選ばれた優秀作品。

 ◆無条件に受け入れられる、存在そのもの。
 しーずーさんの投稿

 ◆人である原点。
 MeSiYaさんの投稿

 ◆人を美しくもし、醜くもする矛盾にあふれたもの。
 潮騒のメモリーズさんの投稿

 ・・・・
 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 ☆ (1~6)までの事項は 定義というよりは どちらかと言うと 《意味》です。言いかえると そういう用例があるということを拾い上げて載せています。

 もっともそれぞれの間の違いを説明していますから そこではすでに《定義》にも進んで行っています。

 [補説] に載せられた《作品》は 《定義のようなひとつの説明》になるのでしょうか。




 
 ★ なぜ、言葉にはいろんな定義があるんですか?
 ☆ (あ) 人それぞれが おのれの意志行為として生きるとき そこに――どういうわけか――違いが出て来るから。

 (い) 人が違うだけではなく 同じひとりの人にあっても 時を経るあいだに 意志行為のあり方が違ってくれば 思想も進化しており 言葉の定義もやはり違って来ます。

 (う) 多数の人びとがかかわる歴史にあっては さらに定義の違いも出て来る。

 (え) ただしそれでも 一般的な意味ないし定義を 人びとは――自分の思想とは異なっても―― 捉えておこうともする。



 ★ まず、言葉って誰かが作ったのですよね? ならばその作者の定義が正解なのではないのでしょうか?それなのに、愛とはなにか? とか正義とはなにか? みたいな質問がでるのはなぜなのでしょうか?
 ☆ (お) すでに使っている語彙の中から あらたに造語をする場合があります。〈造語一覧〉などで検索できます。

 (か) このような造語でなければ  遠い昔からあるとしか分からない語彙があるのだと思います。

 (き) 造語者の定義も そこから逸れて使うようになった意味も ともに《正解》なのでしょうね。それぞれの思想は 対等であり じっさい相対的なものですから。

 (く) 定義をきちんと決めるのは 議論のためです。互いに違った意味で用いていたなら 空回りになります。

 こんにちは。


 ★ 言葉の意味、定義。
 ☆ まづ 長いですが 《愛》についての次のような辞書の説明を見てみます。

 ▲ ( goo 辞書:愛) ~~~~~~~~~~
 http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn2/353/m0u/

 あい【愛】

 1 親子・兄弟などがいつくしみ合う気持ち。また、生あるものをかわいがり大事にする気持ち。「―を注ぐ」
  * ギリシャ語:στοργη(ストルゲー);ラテン語:amor ; love

 2 異性をいとしいと思う心。男女間の、相手を慕う情。恋。「―が芽生える」
  * Grk: ερ...続きを読む

Qlim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)は?

lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、x の代わりに(x+1)にした場合:
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか?
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。
そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。

Q数学の記号&定義の意味

数学の記号や定義の意味について、
分からない、もしくは、分かりにくいので教えてください。

1)n次元Euclid空間(定義)
2)線形空間(1に付随して)
3)内積空間(1・2に付随して)
4)座標ベクトル(1-3に付随して)
5)∀(記号)
6)ヨ(記号)
7)『→』と『|→』の違い(記号)
8)近傍(意味or定義)
9)『開集合』と『閉集合』(定義)
10)『⊂』と『∈』の違い(記号)
11)So:内点(internal point)(定義)
12)∂S:境界点(foundary point)(定義)
13)S ̄:閉包(closure)(定義)【Sバー】

・まずは、感覚的にとらえたいです。
・分かりやすいホームページなどを知っていたらお願いします。
・分かる部分だけでもイイので、お願いします。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

高校数学レベルと大学1・2年レベルのものが混じっていると思いますが、大学初年用の微積分と代数の教科書で勉強するのがいいのではないでしょうか。理系大学生では多分必修では?
もしこれらの言葉を全部理解出来てないのであれば、Webページでの情報では理解が難しいのではないかと思います。
もし今高校生か文系大学生で、大学用数学教科書が難しければ、講談社ブルーバックスなんかでもいいと思います。最近は、「図解わかるxxxx」等という本もあるので、微積分、線形代数あたりを読むのもいいでしょう。

とりあえず高校レベルの3つだけ。(もしかしたら最近のカリキュラムでは高校でやらないのか?)
5) ∀x p(x)  xの値にかかわらず命題関数p(x)が真となる
6) ヨx q(x)  命題関数q(x)が真となるようなxが少なくとも1つ存在する
10) A⊂B  集合Aは集合Bの真部分集合(部分集合を意味するケースもある)
  x∈C  xは集合Cの要素である
あとは、お書きになっているように1)2)3)4)あたりはからんでいるし、8)近傍が分からないと9)11)12)13)は分からないでしょう。

高校数学レベルと大学1・2年レベルのものが混じっていると思いますが、大学初年用の微積分と代数の教科書で勉強するのがいいのではないでしょうか。理系大学生では多分必修では?
もしこれらの言葉を全部理解出来てないのであれば、Webページでの情報では理解が難しいのではないかと思います。
もし今高校生か文系大学生で、大学用数学教科書が難しければ、講談社ブルーバックスなんかでもいいと思います。最近は、「図解わかるxxxx」等という本もあるので、微積分、線形代数あたりを読むのもいいでしょう。...続きを読む

Qなんで、(x+1)a+(x+1)(x−1)から(x+1)(x+a−1)になるんですか?

なんで、(x+1)a+(x+1)(x−1)から(x+1)(x+a−1)になるんですか?

Aベストアンサー

(x+1)a+(x+1)(x−1)の式で
(x+1)が共通の式であるから、
それを取り除くと残りは
(a+x-1)
=(x+a-1)

先ほどの取り除いた(x+1)を
元に戻すと
(x+1)*(x+a-1)
と纏まるのです。

Q「単語」の意味の定義について

私が用いてる国文法の参考書では「単語とは、意味のある言葉としては、これ以上分けることができない、最も小さい単位」と定義されています。また、その参考書では、単語は自立語(それだけで意味がわかる言葉)と付属語(それだけでは意味がわからない言葉)の2点に分けられるとしています。


質問:この参考書の単語の定義では『意味のある言葉としては』とありますから、付属語は「それだけでは意味がわからない言葉」(つまり意味がない)ですから単語ではないと思うんです。上記の単語の定義は矛盾しているのでしょうか?

質問2:矛盾していないなら、その理由は「『それだけでは』意味がわからない単語と云うだけであって、意味自体はある。」から。

例えば「犬と散歩する」の「と」は格助詞で「共同動作する相手を表す」と云う意味があります。然し単独で抜き出してみると「と」の意味
は分かりませんが、でも「文法上の意味(共同動作する相手を表す)」はあります。だから矛盾はしてないと。

Aベストアンサー

#2です。

補足拝見しました。
全くそのとおりです。
  

Q数学 因数分解x∧3-12x+16=0を因数分解したら (x-2)∧2(x+4)=0

数学 因数分解

x∧3-12x+16=0

を因数分解したら (x-2)∧2(x+4)=0

となるのですが、過程を分かりやすく教えてください。

Aベストアンサー

3乗の公式
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
を使えば解けるのでは?

x^3-12x+16をx^3-8-12x+24と変形し、
x^3-8=x^3-2^3と置き換えれば、

(x-2)(x^2+2x+4)-12x+24
=(x-2)(x^2+2x+4)-12(x-2)

(x-2)でくくると

=(x-2)(x^2+2x+4-12)
=(x-2)(x^2+2x-8)
=(x-2)(x-2)(x+4)


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