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中学生の数学の問題を作っており、困っております。


例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか?


また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか?

また、12の因数の場合、答えは12の約数(1,2,3,4,6,12)でよろしいでしょうか?

因数の厳密な定義をご存知の方、よろしくお願いいたします。

A 回答 (4件)

因数は、対象となる数字または多項式を積に分解したときの


1つ1つの要素です。

数学的(哲学的)には因数は“存在”するのでしょうけど、
表示上の問題と考えるとよいかもしれません。

例えば、12=3×4
と表示できるので、3や4は12の因数です。
同様に、12=1×12
と表示できるので、1や12も12の因数です。
この意味で、12の約数はすべて12の因数です。 ※

12=(-2)×(-6)
とも表示できるので-2と-6も因数です。  ※



>例えばx(x+1)(x+1)の因数は?に対し、
>x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか?
>また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか?
答えとしてよいと思います。



※ ただし、因数分解の範囲を十分に考慮しなければなりません。
  素因数分解の一意性を保ちたいのであれば、
   12=1×12=1×2×2×3
  という表示はこのましくないでしょうし、
  負の約数も考えてはいけないのでしょう。
  また、たとえば、複素数まで範囲を広げれば、
   12=(2+2√2i )(2-2√2i)
  のようにもかけますので、12の因数は無数に存在することになります。

  このように、因数の定義はかなりシビアなところがありますので、
  中学校ではその厳密な議論を避けるべきです。
  したがって、たとえば“12の因数は?”“12の因数の個数は?”というような
  “因数の定義”に根差した問題は、
  中学生にはふさわしくないものと私は思います。
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x(x+1)(x+1)に対し、「因数分解」するのであれば


x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになりますし、
1, 1^2, 1^3, ..... も答えになってしまいます。
それに対して、「素因数分解」するのであれば答えはx, (x+1), (x+2)の3種類に
限定されます。
12の因数の場合、素因数分解すると(2 x 2 x 3)に一意に決まります。
ところで、ここになぜか1が含まれない理由は私も最近になって知りました。
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質問するということはその定義が教科書に載ってないんですよね?



そうであれば、あなたが作ろうとしている問題にとって都合の良いよう、好きなように決めればいいのですよ。
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> 因数の厳密な定義



約数と同じ
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Q約数と因数の違い(∈N)

中学校3年で「素因数分解」が教科書に出てきます。
教科書では「因数」「素数」「素因数分解」の順に説明されています。「因数」と小学校で習う「約数」の違いは何ですか?
ほとんど同じなのかと思いますが、「因数」の方は1およびもとの数を含まないのかな??と思ったのです。
だって多項式の因数分解の話では(x^2+2x+4)は実数の範囲では「因数分解できない」っていいますよね。

どなたか正確なところをご存知でしたら教えてください。また出典も教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

laminaeさん、こんにちは。

参考URLに詳しい説明が載っているのですが、
たとえば7の因数は、7だけで、1つです。
約数は、7=1×7なので、1と7の2個です。
30の因数は、
30=2×3×5
と素因数分解できますから、2と3と5の3種類なので、因数は3個。
しかし、約数は、いっぱいあります。
1,2,3,5,6,10,15,30
これ、みんな30の約数ですね。

約数とは、ある整数aが整数bで割り切れるとき、
この整数bを整数aの約数、といいます。
30÷1=30
30÷2=15
30÷3=10
と、どれも割り切れて余りが出ないので、1も2も3も30の約数だ、というわけです。

さて、約数は、どんどん細かく分けることができます。
たとえば、
80÷16=5
なので、16と5はともに80の約数で
80=16×5
また、16=4×4
なので、
80=4×4×5
4=2×2なので
80=2×2×2×2×5
のように分解できます。
もう、これ以上には、分解できませんね。

このように、「もうこれ以上分解できない」状態を
素因数分解された状態といいます。
このとき、80を素因数分解している数字の種類は
2(が4個)と5(が1個)ですね。
この2種類を、80の因数といいます。
80の因数は、2と5、といえます。

約数は、もっといっぱいありますよ。
1,2,4,5、8,10,16、20、40、80
これ、全部、80の約数ですね。

こういう感じです。ご参考になればうれしいです。

laminaeさん、こんにちは。

参考URLに詳しい説明が載っているのですが、
たとえば7の因数は、7だけで、1つです。
約数は、7=1×7なので、1と7の2個です。
30の因数は、
30=2×3×5
と素因数分解できますから、2と3と5の3種類なので、因数は3個。
しかし、約数は、いっぱいあります。
1,2,3,5,6,10,15,30
これ、みんな30の約数ですね。

約数とは、ある整数aが整数bで割り切れるとき、
この整数bを整数aの約数、といいます。
30÷1=30
30÷2=15...続きを読む

Q因数ってなんでしょうか?

因数がよくわからないので教えてもらいたいです。

7の因数は1つ、30の因数は3つ、462の因数は3つ。

どういう理由でそれらの因数の数が出るのでしょうか?

Aベストアンサー

またまたstomachmanです。今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「割り切れる」が出てくるか?(念のためですけど)
 それは、かけ算の反対はわり算だからですね。具体的には「30が5で割り切れる」というのは、式で書けば
30÷5=6(余り0)
ですが、これは
30=6×5
というのと同じ事だからです。

(2)もしどうしても「30の因数は3個だ」と参考書にでも書いてあるのであれば、その本は言葉を間違って使っています。この場合「因数」ではなく、「素因数(そいんすう)」が正しい用語です。「素因数」とは「因数のうちで、素数であるもの」のことです。
 「素数(そすう)」というのは(ご存知でしょうが)「1とその数自身以外に因数がないような数(ただし1と0は除く)」のことで、
2,3,5,7,11,13,17,19,23,....
と無限個あります。(また、素数でない数は「合成数」と言います。)
 どんな数も素数だけのかけ算で表すことができ、その表し方は1通りしかありません。この表し方のことを「素因数分解」といいます。
 だから、30を素因数分解すると
30=2×3×5
であり、30の素因数は2と3と5ですね。他に素因数はありません。
 さらに、1を除く因数は全て、素因数か、素因数同士のかけ算になります。実際、この例では、1以外の因数のうち素因数でないものは6,10,15,30であり、それぞれ素因数2,3,5を使って
 6=2×3
10=2×5
15=3×5
30=2×3×5
と表せますね。これらの因数は素因数のかけ算で表せる合成数なのです。

またまたstomachmanです。今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「...続きを読む

Q素数と因数とは何ですか?

質問のタイトル通りなのですが、素数と因数とは何ですか?
この先習うと思うんですが、出来れば今すぐ知りたいので…
本を見ても言い方が難しくよく分かりません。
簡単にで良いのでよろしくお願いします。

後、因数分解のやり方も良ければお願いします。

Aベストアンサー

SARASA13さん、こんにちは。

>素数と因数とは何ですか?

素数というのは、1と、その数以外で割り切れないような
正の整数のことです。
たとえば、2=1×2 と1と2しか約数がないので素数。
3=1×3
5=1×5
・・・
あと、7,11,13・・・と続いていきますが、
このように1とその数以外の約数を持たないものを言います。

それに対して、因数とは、ある数の約数のことです。
たとえば、10=2×5となりますので
2も5も、10の因数といえますね。
このように、素数の積に分解することを、素因数分解と言います。

http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/6nen1/61_05.htm



これに対して、因数分解とは、共通の項をくくりだすことです。

http://www.kgc.keio.ac.jp/sugakuka/3nen/insu.html

因数分解では、必ずしも整数を分解するとは限らないですね。
整式を分解することもありますね。

x^2-y^2=(x-y)(x+y) のように分解します。

ご参考になればうれしいです。

参考URL:http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/sosuu.htm

SARASA13さん、こんにちは。

>素数と因数とは何ですか?

素数というのは、1と、その数以外で割り切れないような
正の整数のことです。
たとえば、2=1×2 と1と2しか約数がないので素数。
3=1×3
5=1×5
・・・
あと、7,11,13・・・と続いていきますが、
このように1とその数以外の約数を持たないものを言います。

それに対して、因数とは、ある数の約数のことです。
たとえば、10=2×5となりますので
2も5も、10の因数といえますね。
このように、素数の積に分...続きを読む

Q面積を表す文字になぜSをつかうことが多いのか

タイトルどおりの質問です。職場で突然、話題になりました。現在、スクエアの頭文字では、という意見が優勢です。いろいろな説があるのかもしれませんが、「何々では」という予想ではなく、それなりに根拠がある由来をご存知の方、ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年,p114参照)

1つは原始的な方法で、既にアルキメデスの時代から知られている、
「図形を細かく分けて、直線で囲む形にして近似し、足し合わせる」という、いわゆる区分求積法です。

この足し合わせるという語は、英語などではsumとかsummationといいます。
そして、後述するライプニッツおよびニュートンによる微積分学以降、
離散量あるいは有限個のものの和を表すのに、この頭文字Sに対応するギリシャ語のアルファベットΣが使われ、
「一つ一つの分割をS1,S2,S3,・・・とおけば、全体の面積S=ΣSi」
という数学記法上の慣習として広まったものです。

つまり、Sを、sumあるいはsummationの頭文字であるとする根拠がここにあります。そして、今では、曲線図形でない場合でも広く一般的に、図形の面積を表すのにSは利用されています。もちろん、面積をSとおくというのは、規則でも強制でもありません。

さて、もう1つ、曲線図形の面積を求める現代的な方法は、積分を使う方法です。
これは、上記のS=ΣSiという表現式で、i=1,2,・・・という分割を無限に続けたときの極限値をもって、その図形の面積とするというものです。
その場合、極限値が存在するなら、各Siは、連続量S(x)に書き換えられて、S=∫S(x)dxと表現されます。
そして、この積分記号(インテグラル記号∫)は、ライプニッツの提案によるもので、
離散量の和の記号Σに対応して、連続量の和として、これまた和を意味するSを縦に伸ばした、イメージ的にも優れた記号と言えます。この事実は、
たとえば、ホームページでは
http://www.nikonet.or.jp/spring/integral/print3.htm
書籍では、
船山良三「身近な数学の歴史」東洋書店,1991,pp.308-313.
などでも述べられています。

ところで、面積がSで表されている場合、書き手によっては、ある「領域(sphere)」の面積を表すという意味で、sphereの頭文字Sを使ったということはあり得ることです。
しかし、残念ながら、squareやsurfaceの頭文字であるとするのは、特別の場合を除いて可能性は低いと考えられます。

一般に、数学の文献では、
「面積」には、通常areaを使います。また、四角形の面積には area of square を、円柱の側面積には surface atea of cylinder を使います。つまり、squareは四角、surfaceは曲面の意味です。
これらは、文献では、
William Dunham"The Mathematical Universe",Wiley,1994.
ホームページでは、
http://www.communicatejapan.gr.jp/yuki/algebra/wordsbook.htm
http://www.monjunet.ne.jp/PT/sampo/006.htm
などでも示されています。

以上、補足です。

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年...続きを読む

Qa~2+2a+1の因数は[a+1]だけでなく「1」も「a+1]

も因数である」正しいですか。48の約数は1も48もであるが、1も48も因数といえる」正しいですか。私は大人で、1は素数でないと存じております。

Aベストアンサー

因数分解についてですね。(有理)整数環Zと多項式環Q(X)は構造が似ていることはご存じですよね。整数は割り算ができます。多項式も割り算ができます。このような構造をユークリッド環といいます。整数は素因数の積に一意に分解します。同様に多項式は既約多項式の積に一意に分解します。ですから、整数の性質や用語を多項式の性質や用語として使用することができるのです。「因数(factor)」というのは、48=1×48という掛け算の式で表したとき、右辺の掛け算の式を構成する、1と48のことをいうのです。「約数(divisor)」というのは、48を割り切る数です。因数と約数は意味が似ていますが、使い方が違います。
以上のことを念頭に入れておけば、ピタゴラJrさんの質問に答えることができます。
1も48も48を割り切るので、48の約数です。
48=1×48ですから、1も48も48の因数です。
a~2+2a+1=1×(a+1)^2ですから、1も(a+1)^2もa^2+2a+1の因数です。また、1,(a+1),(a+1)^2はa^2+2a+1の約数です。しかし、a~2+2a+1=1×(a+1)^2は因数分解とは言いません。因数分解は正確には、素(既約)因数分解というべきものです。整数の世界では、1やー1を単元といいます。単元を素因数にしてしまうと、素因数分解の一意性が成り立ちませんね。それと同様に有理数係数多項式環Q[X]の世界での単元は有理数です。有理数を素因数にしてしまうと素因数分解の一意性が成り立ちません。ですから、
2X+4=2(X+2)は因数分解とはいいません。なぜなら、2は単元であり、2X+4は既約多項式だからです。3=1×3を素因数分解とは呼ばないことと同様です。
2a^2+6a+4=(2a+2)(a+2)は因数分解です。なぜなら、(2a+2)と(a+2)はそれぞれ既約多項式だからです。しかし、普通は2a^2+6a+4=2(a+1)(a+2)と書いた方が見栄えが良いので、このように書きます。

ところで有理係数多項式環Q[X]では2X+4は既約多項式ですが、整数係数多項式環Z[X]では既約ではありません。しかし、整数係数多項式環Z[X]では環としての性質を論じるのに、あまり面白くありませんね。

因数分解についてですね。(有理)整数環Zと多項式環Q(X)は構造が似ていることはご存じですよね。整数は割り算ができます。多項式も割り算ができます。このような構造をユークリッド環といいます。整数は素因数の積に一意に分解します。同様に多項式は既約多項式の積に一意に分解します。ですから、整数の性質や用語を多項式の性質や用語として使用することができるのです。「因数(factor)」というのは、48=1×48という掛け算の式で表したとき、右辺の掛け算の式を構成する、1と48のことをいうのです。「...続きを読む

Q偏角を表す「arg」の読み方

 どなたか教えて下さい!!

偏角を表す記号「arg」はなんて読めばいいのでしょうか?
 
 至急お願い致します。m(__)m

Aベストアンサー

とりあえずオンライン辞書として使ってみたらどうでしょう?

参考URL:http://www.alc.co.jp/sa_menu.html

Q循環小数の読み方

循環小数で
0.345345345…は3と5の上に・をかいて表記しますが,どう読むのでしょうか・

Aベストアンサー

れいてん3どっと45どっと

と読めばいいそうです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=390911

ちなみに、↑の質問をしたのは、私だったりします。
この質問してから、もう2年半も経ったのか。。。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=390911