因数の定義

中学生の数学の問題を作っており、困っております。


例えばx(x+1)(x+1)の因数は？に対し、
x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか？


また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか？

また、12の因数の場合、答えは12の約数（1,2,3,4,6,12）でよろしいでしょうか？

因数の厳密な定義をご存知の方、よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tsukita 回答日時： 2011/04/09 05:47

因数は、対象となる数字または多項式を積に分解したときの

１つ１つの要素です。

数学的（哲学的）には因数は“存在”するのでしょうけど、
表示上の問題と考えるとよいかもしれません。

例えば、１２＝３×４
と表示できるので、３や４は１２の因数です。
同様に、１２＝１×１２
と表示できるので、１や１２も１２の因数です。
この意味で、１２の約数はすべて１２の因数です。　※

１２＝（－２）×（－６）
とも表示できるので－２と－６も因数です。　　※



＞例えばx(x+1)(x+1)の因数は？に対し、
＞x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになるでしょうか？
＞また(x+1)^3の因数は、(x+1)の他にも(x+1)^2,(x+1)^3も答えになるでしょうか？
答えとしてよいと思います。



※　ただし、因数分解の範囲を十分に考慮しなければなりません。
　　素因数分解の一意性を保ちたいのであれば、
　　　１２＝１×１２＝１×２×２×３
　　という表示はこのましくないでしょうし、
　　負の約数も考えてはいけないのでしょう。
　　また、たとえば、複素数まで範囲を広げれば、
　　　１２＝（２＋２√２i ）（２－２√２i）
　　のようにもかけますので、１２の因数は無数に存在することになります。

　　このように、因数の定義はかなりシビアなところがありますので、
　　中学校ではその厳密な議論を避けるべきです。
　　したがって、たとえば“１２の因数は？”“１２の因数の個数は？”というような
　　“因数の定義”に根差した問題は、
　　中学生にはふさわしくないものと私は思います。

No.4 回答者： zuntac 回答日時： 2011/04/09 10:48

x(x+1)(x+1)に対し、「因数分解」するのであれば

x,x+1,x+2の他にも、x(x+1),x(x+2),(x+1)(x+2),x(x+1)(x+2)は答えになりますし、
1, 1^2, 1^3, ..... も答えになってしまいます。
それに対して、「素因数分解」するのであれば答えはx, (x+1), (x+2)の3種類に
限定されます。
12の因数の場合、素因数分解すると（2 x 2 x 3）に一意に決まります。
ところで、ここになぜか1が含まれない理由は私も最近になって知りました。

No.3 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/04/09 07:34

質問するということはその定義が教科書に載ってないんですよね？

そうであれば、あなたが作ろうとしている問題にとって都合の良いよう、好きなように決めればいいのですよ。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/04/09 04:14

> 因数の厳密な定義

約数と同じ