以下の問題について質問です

正6角形ABCDEFにおいて辺AB、BC、CD、DE、EF、FAの中点を
それぞれP、Q、R、S、T、U とする。
△PRTの重心と△SQUの重心は一致することを証明せよ。

私は △PRTと△SQUは6角形の対角線について対称だから
    2つの重心は重なる。
と思ったのですが解答には重心ベクトルが等しいことを示すとあります。

ベクトルを使う必要はあるのでしょうか?
あたそれはどのように証明するのですか?

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

ベクトルを使わなくてもかまいません。


でも
>△PRTと△SQUは6角形の対角線について対称だから・・・  2つの重心は重なる。
というのは不十分だと思います。
正6角形だから成り立つことだという押さえがあいまいになっています。
「対角線について対称だ」という時の対角線は1本では不十分なのです。
対角線ADについて考えたものをBEに変えても考えてみるということやらないと重なるということを導くことはできません。

「正六角形の時に成り立つことを示せ」という問いに対して「正六角形だから」と答えるのは答えになっていないというのは分かりますね。

どちらかというと
対角線を使うよりはPSやQTのような二等分線を使う方が証明しやすいように思います。
どちらの三角形の重心もPSの上にあって、QTの上にあるということが言えるからです。重心は交点の上にあります。
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この回答へのお礼

そうですか、わかりました。

二等分線のほうが示しやすいですね。
ありがとうございます。

ベクトルを使っても示せるように考えて見ます。

お礼日時:2011/04/09 17:54

ベクトルを使う必要はないと思います。


使う必要がないことを証明するには、あなたの方針を試してみるといいのでは。
ベクトルを使った証明では、重心ベクトルの式において、三角形の頂点の位置ベクトルを、(中点であることを用いて)六角形の頂点の位置ベクトルを使って表し直すといいでしょう。
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この回答へのお礼

そうですか、わかりました
ありがとうございます

重心ベクトルもつかって証明してみます

お礼日時:2011/04/09 15:09

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