はじめて利用します。

数学の質問です。

2次方程式
ax2乗 + bx + c = 0 (a≠0)

この式の解き方を教えてください。
(途中式を省かず書いていただけると有難いです)
計算していくと途中で分数のルート計算になるのですが、そこの解き方がわかりません。

どうぞよろしくお願いします。

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A 回答 (6件)

はじめまして。


自分は初めて回答します。よろしくお願い致します。


結論から言うと、xの解は解の公式で
x = -b ± √(b2乗 - 4ac) / 2a
と求められますが、何故この式に到達するのか?ということですね。

※以下の式の見方ですが、加減乗除等の優先順位に従って見て下さい。
例えば、bx / a + c / a は、
  bx  c
  -- + --
  a   a          という意味になります。

±√{(b2乗 - 4ac) / 4a2乗}は、
      _______________
     / b2乗 - 4ac
±  / ----------
  V    4×a2乗       です。

以下証明です。

ax2乗 + bx + c = 0 (a≠0) …(1)

について両辺をaで割ると、

x2乗 + bx / a + c / a = 0 … (2)

になります。
ここで、左辺の第二項の係数 b / a の値を2で割り、出た値を2乗すると、

b2乗 / (4a2乗) … (3)

になります。これを用いて、(2)を変形すると、

x2乗 + bx / a + b2乗 / (4a2乗) - b2乗 / (4a2乗) + c / a = 0 … (4)

になります。(3)の値を(2)の左辺の bx / a と c / a の間に書きました。(3)の値を足した後に引いているので、(左辺) = 0 の関係は崩れませんよね。

(4)式の第一項から第三項まで着目し、因数分解します。何故(3)の値を式中に加えたかというと、
a2乗 ± 2ab + b2乗 = (a ± b)2乗 の因数分解を行いたいためです。

(x + b / 2a)2乗 - b2乗 / (4a2乗) + c / a = 0 … (5)

と変形します。次にxが付いていない項を右辺に移項し、通分します。

(x + b / 2a)2乗 = b2乗 / (4a2乗) - c / a
          = (b2乗 - 4ac) / 4a2乗 … (6)

少しずつ解の公式に近づいてきましたね。
(6)式の左辺の2乗を外します。右辺に±を付けることを忘れないようにしましょう。

x + b / 2a = ±√{(b2乗 - 4ac) / 4a2乗}
       =±√(b2乗 - 4ac) / 2a … (7)

最後に、左辺の b / 2a を右辺に移項し、通分します。

x = - b / 2a ±√(b2乗 - 4ac) / 2a
 = - b ±√(b2乗 - 4ac) / 2a … (8) (証明終わり)//

上記の感じです。

コツとしては、(1)にはxが2個ありますが、それを1個にまとめるところです。
そのために、途中で因数分解を行いました。

不明な点があったら、また質問下さい。
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この回答へのお礼

詳しく、丁寧な回答をありがとうございます!

因数分解を理解していないので、因数分解を勉強してから、
わからない部分を改めて質問させていただきたいと思います。

その際は、どうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/04/09 21:54

分数の平方根が苦手ならば、


最初に両辺を 4a 倍するとよいです。
4(aの2乗)(xの2乗) + 4abx + 4ac = 0.
平方完成して、
(2ax + b)の2乗 = bの2乗 - 4ac.
開平して、
2ax + b = ±√(bの2乗 - 4ac).
一次方程式を解いて、
x ={-b±√(bの2乗 - 4ac)}/(2a)
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この回答へのお礼

新しい解き方を教えていただき、

ありがとうございます。

もっと勉強して、この解き方を理解していきたいと思います。

お礼日時:2011/04/09 21:57

ANo.2で回答したものです。


確かに最後でマイナス付け忘れてました。
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最後のところマイナスが抜けていますのでNO1さんのが正解

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ax^2+bx+c


=a(x^2+(b/a)x)+c
=a(x+(b/2a))^2-a×(b/2a)^2+c
=a(x+(b/2a))^2-b^2/4a+c=0より
a(x+(b/2a))^2=(b^2/4a)-c
a(x+(b/2a))^2=(b^2-4ac)/4a
(x+(b/2a))^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+(b/2a)=±√(b^2-4ac)/2a
x=(b±√(b^2-4ac))/2a
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この回答へのお礼

早速の回答を感謝いたします。

参考にさせていただき、解き方を身につけていきたいと思います。

ありがとうございます!

お礼日時:2011/04/09 21:46

ax^2+bx+c=0


a(x^2+bx/a)+c=0
a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a=0
a(x+b/2a)^2=b^2/4a-c
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/4a^2)
x+b/2a=±√((b^2-4ac)/4a^2)
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
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この回答へのお礼

早速の回答を感謝いたします。

参考にさせていただき、解き方を身につけていきたいと思います。

ありがとうございます!

お礼日時:2011/04/09 21:43

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Q二次方程式の解の公式について

 個別指導の塾の講師をしているhisanoriです。中学生の学習内容で二次方程式の解の公式がなくなってしまいましたが、僕は、レベルが中以上の3年生には二次方程式の解の公式を教えています。
 しかし、塾の室長から二次方程式の解の公式は中学生の範囲ではないので、あまり教えないほうが良いといわれてしまいました。
 私は、因数分解で解けないもので平方の形がない方程式は、解の公式を使ったほうが早く解けるので、解の公式を使うことを積極的に勧めたほうが良いと考えています。従って、成績が中以上の生徒には積極的に教えたほうが良いと思うのですが、皆さんはどうおもいますか?
 塾の先生及びその経験者等からアドバイスをいただけたら幸いです。よろしく御願いいたします。

Aベストアンサー

原理を生徒に体得せしめること、一方で受験に成功するために解法を習熟せしめること、の何れに力点を置くか。永遠の課題です。

中学2年のとき、多元連立一次方程式の解法として、指導要綱にある代入法以外にこんなものも出来るぞ、と行列による解法を教えた若い数学教師がいました。

いとも簡単に解が得られる。テストになって生徒の2人(300人中)がこの解法で答えたところ、くだんの教師、2人を教員室に呼びつけ、「これを使ってはいけない!」と真っ赤になって怒鳴りました。

今の生徒と違って、従順な生徒(一人は僕)は「はい、わかりました。すみませんでした」と指導に従ったことがあった。昭和23、4年のことです。今にして思うに、この教師は中学2年くらいで行列の原理も解さずに技能的に使うな、ということを示したかったのでしょう。

受験進学校では高2まででカリキュラムを終え、高3では1年かけて演習つまり解答テクニックを教え込む。

例えば円柱の底面の直径を過ぎる平面によって切り取られる部分の体積を求めよという積分の応用問題で、底面に平行な断面(円の一部になる)を円柱の高さ方向に積分する解法を採ると大変なことになり、高校数学では対処しきれないが、底面に鉛直な断面(三角形になる)を円柱の径方向に積分する解法を採ると、いとも簡単に解が得られる。

「こういう問題にはこうして断面を作るように!」の類の「べき、べからず大集」を徹底して叩き込むわけです。大集です。膨大な内容です。

因みに上の問題、昭和26年か27年の福島大学の入試で出され、同じものが昭和33年の東京大学の二次試験で出ている。駿河台予備校では前年に解き方演習でこの問題を教えていて、この年に東大合格した予備校生は「先生、出ましたよ、あの西瓜を切ったような体積求めるヤツ、おかげで3分間で答案できました!」

受験テクニックを集中的に叩き込む受験校(予備校、塾)が父兄に圧倒的に支持される理由はここにある。だがその弊害は当然、有ります。大挙して東大に入学してくる有名進学校出身者が入学後、そして卒業後になぜパッとしないのか。

上は、駒場(教養時代)や学部の同期生達はじめ先輩後輩を観察した結果です。(あっちも僕に同じことを言っている。だからお相子だぁ)

でも原理に拘泥するあまり、受験テクニックが得られないとなると、父兄の支持はなくなり、生徒が集まらず、その学校(予備校、塾)は潰れる。まさにトレードオフです。模範解答はありません。

となれば、質問者さんがご自分の信念に基づいて進むほか、ないでしょう。

僕が同じ立場なら、生徒に、原理と公式および受験数学との関係、文部省と親たちの建前と本音を素直に話し、その上で原理を説明し、ついで裏技的に公式を教え、さらに、この公式で得られる解を参考に、原理だけで解いたように見せる答案の書き方まで伝授しますな。このあたりになると、個々人の価値観、生き様の領域です。だから批評、批判、感想は無視。

以上は回答です。以下は追記です。

質問者のヒサノリ様、以前の僕の質問No.641552へのご回答、深謝します。実はヒョンなところから貴方のこの質問に遭遇しました。

発端は回答者のお一人のお方futago-yaさまによる別の質問をクリックミスで開きついでに読んで、「僕と同じくらいの年代で、とんでもない婆さんが居るもんだ(futago-yaさんのことではありませんぞ。当該質問に書かれている人物のこと。)」と呆れ、辿っているうち本質問に遭遇。

何事にも真摯に懸命に取り組む、ヒサノリ様のご姿勢(特許カテゴリの以前の数回のご質問を全部読みました)に感嘆と共感の拍手をおくりたいです。

また産業財産権の分野でぜひご教示ください。ずっと期待し続けますね。

原理を生徒に体得せしめること、一方で受験に成功するために解法を習熟せしめること、の何れに力点を置くか。永遠の課題です。

中学2年のとき、多元連立一次方程式の解法として、指導要綱にある代入法以外にこんなものも出来るぞ、と行列による解法を教えた若い数学教師がいました。

いとも簡単に解が得られる。テストになって生徒の2人(300人中)がこの解法で答えたところ、くだんの教師、2人を教員室に呼びつけ、「これを使ってはいけない!」と真っ赤になって怒鳴りました。

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Qax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+

ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と変形できることを示せ。

Aベストアンサー

因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。
この多項式が根 x=β を持つとき…

…と繰り返してゆけば、
n 次多項式は n 個の一次式で割り切れ、
最後の商は定数式になる。
(根の存在自体は代数学の基本定理によるが、
質問の例では解の存在が仮定されているから、
その点は気にしなくてよい。)

最後の商を何か未定係数で置いて
一次式の積を展開してみれば、
最高次の係数の比較から、それが a であると判る。

証明の流れを見れば解るように、
これは、α,β,γ の中に同じものがあっても、
それを重解とみなせば、成り立つ。

因数定理を証明しろってことなのかな?

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z=0 を代入してみれば判る。

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Q二次方程式 6x^2-7x-3=0を解の公式でとく方法をおしえてくださ

二次方程式 6x^2-7x-3=0を解の公式でとく方法をおしえてください。
     

Aベストアンサー

解の公式で?

二次方程式の解公式は、
axx + bx + c = 0 に対して
x = (-b ± √(bb-4ac)) / (2a).

貴方の問題は、
a = 6, b = -7, c = -3.

代入して、計算する。

Q2次関数 y=ax^2+bx+cの直し方

2次関数でy=ax^2+bx+cの形をy=a(x-p)^2+qにするにはどうすればいいんでしょうか?

具体的に言うと
y=-3x^2-6x+2をy=-3(x+1)^2+5にする手順です。


ちなみに「^2」は「2乗」の事です。

参考書を買ってもイマイチやり方が分からず、非常に困っています。

お願いします。誰かわかりやすく説明してください!

Aベストアンサー

こんにちは。

まず、
x^2 の項に係数(-3 のことです)があると邪魔なので、
両辺を -3 で割っちゃいます。

-y/3 = x^2 + 2x - 2/3

ここで、x^2 + 2x の部分に注目して、
そして、x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 を思い出せば、
x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1
となります。

ということは、
-y/3 = {x^2 + 2x} - 2/3
 = {(x+1)^2 - 1} - 2/3
 = (x+1)^2 - 5/3

仕上げに、両辺に -3 をかけ直せば、
y = -3(x+1)^2 - (-3)× 5/3
 = -3(x+1)^2 + 5

いっちょあがり。


ご参考に。

Q二次方程式 解の公式

二次方程式の解の公式の導き方が分かりません。色々なサイトに行ってみたのですが、様々な方法があって分かりにくかったです。
そこで二次方程式の解の公式の導き方を分かりやすく説明して頂けると、とても有り難いです。
それか分かりやすく説明しているサイトなどが有ったら教えてください。

Aベストアンサー

 個人的な好みでは、

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/solution.htm

なんかは好きですね。

 どういう方法でも、難しいということはありません。それを難しいというようであれば、たとえ解の公式(根の公式)の説明を理解しても、自分で何かをすることはできないでしょう。

 わざと分かりにくくしていない限り、解の公式を導いていれば、どれでも理解できるようになることは、最低限でも必要です。

 どれでもいいので、まず一つを理解しましょう。分かってしまって、もう見たくないほど飽きるまで、何度も繰り返し、その一つの方法を繰り返し、ノートに書くのです。
 数式を手で書くのは必須です(タイプはNG)。目で追っているだけでは、頭の中に定着しません。

 そうしたら、公式の異なる導き方や説明も分かってきます。

Qx^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつとき

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★x^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつとき、定数a,bの値と他の解を求めよ。
(答)a=4,b=-28,他の解はー8

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

x^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつ、とは
上の式を因数分解すれば
(x-2)(x-2)(x-N)=0 ・・・(1)
となるということです。
従って、(1)式を展開して
x^3-(N+4)x^2+4(N+1)x-4N=0
これと最初の式の係数を比較すれば
a=-N-4
b=4(N+1)
3a+20=-4N
この連立方程式を解けば、他の解Nとa,Bの値が求まります。

Q二次方程式の解の公式の計算方法

以下の二つの二次方程式とその解が問題集に載っていました。
ですが、自分でそれらの解を解の公式を使用して求めた際に
その参考書と解が一致せず、
どうやら、私が解の公式の計算をきちんと
出来ない事が原因の様でした。

以下の二つの二次方程式を
解の公式を使用して解く際の
計算過程を追って一つ一つ省略せずに
教えて頂けませんでしょうか。

(1)3x^2-2x-9=0 答え x=1±2√7/3
(2)x^2-4x+1=0 答え x=2±√3

Aベストアンサー

解の公式

ax^2+bx+c=0

-b±√(b^2-4ac)
x=--------------
2a

(1)3x^2-2x-9=0

--2±√((-2)^2-4*3*-9)
x=--------------
2*3

2±√112
=--------------
6

2±4√7
=-------
6

1±2√7
=-------
3


(2)x^2-4x+1=0

--4±√((-4)^2-4*1*1)
x=--------------
2*1

4±√12
=--------------
2

4±2√3
=--------------
2

=2±√3

Qxについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,

xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。このとき、定数a,bおよびα,β,γの値を求めよ。

解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
     等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。
     等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ     ればならないみたいです。

     これと、解と係数の関係よりα+β+γ=-a
                  αβ+βγ+γα=b 
                  αβγ=-8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら     しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。
     わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!! 

Aベストアンサー

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。

こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(...続きを読む

Q二次方程式の解の公式による計算について

x^ - 2x - 15 = 0

上の式を二次方程式の解の公式に代入したら


2±√64 / 2

x=5,x=-3
の答えになるそうですが

2±√64 / 2 ここからの計算方法を
ご教授いただきたいのですが。

^は2乗です
x はエックスです
分子 / 分母 です

Aベストアンサー

2±√64/2=2±8/2となるので、2+8/2=5と2-8/2=-3の二つの解となります。またx^-2x-15=0を因数分解すると(x-5)(x+3)=0となり、x=5、-3と導くこともできます。

Q2次関数 y=ax2+bx+cのxを求めるには?

2次関数式の y=ax2+bx+cの式から、 xを求める式を教えていただけないでしょうか?
y,a,b,cは、判っているのですが、xを求めるのは、どういう式に変換すれば、いいのでしょうか?
どなたか よろしく お願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

ax^2 + bx + (c-y) = 0
と書き換えることができますね。

ということは、この二次方程式を解けばよいということです。

x = {-b ± √(b^2 - 4a(c-y))}/(2a)

では、がんばってください。


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