数学IIIの質問です。解き方を教えて下さい。
問題.f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dとおく。関数y=f(x)のグラフがy軸と平行なある直線に関して
対称であるとする。

(1)a,b,c,dが満たす関係式を求めよ。
(2)関数y=f(x)は二つの二次関数の合成関数になっていることを示せ。
よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

(1)y軸と平行な直線x=pに関して対称とすると



f(x)=f(2p-x)

を満たす。すなわち


x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(2p-x)^4+a(2p-x)^3+b(2p-x)^2+c(2p-x)+d

x^4,x^3,x^2,x,定数項の係数を比較して

a=-4p
b=4p^2
c=0

を得る。


つまり

f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
=x^4-4px^3+4p^2x^2+d
=x^2(x-2p)^2+d

p>0としても一般性を失わない
f'(x)=4x(x-p)(x-2p)
従って
x→±∞でf(x)→∞
x=0で極小値d
x=pで極大値p^4+d
x=2pで極小値d
となり、x=pについて対称

(2)関数y=f(x)は二つの二次関数の合成関数になっていることを示せ。
何を示したらよいかわかりません。考えてください。
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No.2です。

(2)を考えてみました。

(2)f(x)がg(x)とh(x)の合成関数で
g(x)とh(x)がxの2次関数で表されることを示せばよい。

g(x)=x(x-2p)
h(x)=x^2+d
とすると
f(x)=h(g(x))

g(x)とh(x)はxの2次関数である。
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y軸に平行な直線の式:x=α



直線に関して対称
任意のx1について、x=α+x1のf(x)値とx=α-x1のf(x)が同じということです。
f(α+x1)=f(α-x1)
(1)これを実際に計算すれば関係式は出るでしょう。
ポイントは任意のx1について成立するってことです。
アノ計算が思い浮かぶ筈ですよね。
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