次の不等式で表される図形の体積を教えてください。

x^2 + 4y^2 + 9z^2 <= 1

よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

高校数学の範囲で答えると…



x = t(|t| ≦ 1)で切った切り口を考えると、これは台形になる。

4y^2 + 9z^2 ≦ 1 - t^2

⇔y^2 / {(1 - t^2) / 4} + z^2 / {(1 - t^2) / 9} ≦ 1

ここで、y^2 / a^2 + z^2 / b^2 ≦ 1の面積SはS = πabで与えられるので、切り口の面積S(t)は

S(t) = π(1 - t^2) / 6

対称性を考えて、求める体積Vは

V = 2∫[0,1]Sdt

=2π/9 …答

この回答への補足

台形?ではなく楕円形ですねよね。

理解しました。

yz平面で切断した楕円形の面積を積分すればよいのですね。

ありがとうございました。

補足日時:2011/04/10 13:10
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参考URLの中の楕円体に相当しますので、そこに体積公式が載っています。



楕円体の各軸の半径(縦、横、高さ)a,b,cは、与えられた楕円体の式を
楕円体の標準形x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1に直すと
a=1,b=1/2,c=1/3となるので体積Vは
V=(4/3)πabc=2π/9

参考URL:http://www.nichinoken.co.jp/column/essay/sansu/2 …

この回答への補足

ありがとうございます。

公式があったんですね。

補足日時:2011/04/10 13:11
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/04/10 13:12

これがどのような図形を表しているか, 理解できていますか?

この回答への補足

質問当初は全く理解できていませんでした。

楕円体なんですね。

補足日時:2011/04/10 13:13
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