こんばんは!ベクトルの問題で分からないのがあったので質問です。

△OABの3辺の長さをOA=OB=√5、AB=2とする。また、→OA=→a,→OB=→bとする。
というのが前置きで、
(1)内積→a*→bを求めよ。
(2)点Bから直線OAにおろした垂線と直線OAとの交点をPとするとき、→OPを→aを用いて表せ。
(3)(2)において、点Oから直線ABにおろした、垂線と直線BPとの交点をQとするとき、→OQを→aと→bを用いて表せ。

という問題なのですが、(1)、(2)はそれぞれ、→a*→b=3、→OP=3/5→aと求められました。

ところが問題は(3)で、恐らく二通りの表現で式をつくり、係数を比較するのだと思ったのですが、
OQ=kORとおいた方のORの表し方が分かりません。

というかその方法があっているかどうかも分からないので、できれば(3)は1から教えていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

(2)は、(→a*→b)/|a|^2 * →a なのは、理解していますか? |a|は→aの長さです。


内積は、(→a*→b)/|a|とすることで、原点から垂線の足(P点)までの距離を計算するのに使えます。

これがわかっていればO点からABに降ろした垂線の足(R点)はA点を基準に考えて
→AR=(→AO*→AB)/|AB|^2 * →AB
これより →OR = →OA + →AR です。

あとは、j*→BP = k*→OR の方程式を解けばよいです。
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訂正します


(1)
4=|AB|^2=(b-a,b-a)=|a|^2+|b|^2-2(a,b)=10-2(a,b)
(a,b)=3
(2)
|OP|=|b|cos∠BOA
(a,b)=|a||b|cos∠BOA=|a||OP|
OP=(|OP|/|a|)a={(a,b)/|a|^2}a=(3/5)a
(3)
OからABへの垂直点をRとすると|a|=|b|だから
RはABの中点だから
OR=(a+b)/2
|OQ|cos∠ROA=|OP|
|OR|=|a|cos∠ROA
|OQ||OR|cos∠ROA=|a||OP|cos∠ROA
|OQ||OR|=|a||OP|=(a,b)

OQ=(|OQ|/|OR|)OR
=((a,b)/|OR|^2)OR
={4(a.b)/(|a|^2+2(a,b)+|b|^2)}(a+b)/2
=(3/8)(a+b)
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(1)


4=|AB|^2=(b-a,b-a)=|a|^2+|b|^2-2(a,b)=10-2(a,b)
(a,b)=3
(2)
|OP|=|b|cos∠BOA
(a,b)=|a||b|cos∠BOA=|a||OP|
OP=(|OP|/|a|)a={(a,b)/|a|^2}a=(3/5)a
(3)
OからABへの垂直点をRとすると|a|=|b|だから
RはABの中点だから
OR=(a+b)/2
|OQ|cos∠ROA=|OP|
|OR|=|a|cos∠ROA
|OQ|=|a||OP|=(a,b)

OQ=(|OQ|/|OR|)OR
=((a,b)/|OR|^2)OR
={4(a.b)/(|a|^2+2(a,b)+|b|^2)}(a+b)/2
=3(a+b)/8
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「点Qが二本の直線、PBとOR の交点として決まる」という内容に忠実な表現をベクトルで考えてみます。



見にくいので↑でベクトルを表します。Oを基準に取っています。
PB↑=OB↑-OP↑
OR↑=OA↑+AR↑
PB上の点の位置を表すベクトルは pPB↑  (0<p<1)
OR上の点の位置を表すベクトルは rOR↑  (0<r<1)

交点ではpPB↑=rOR↑になっているはずです。
OP↑、AR↑がOA↑,OB↑で表されていればPB↑,OR↑もOA↑、OB↑で表されているはずです。
OA↑、OB↑の前の係数が一致するはずです。これでp、rが決まります。
(1)、(2)はこの計算のための準備になっています。
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「OQ=kORとおいた方のORの表し方が分かりません」の「R」が何かわかりません.



△OAB が二等辺三角形であることはいいよね?
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