《問題》
(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)において,x^(r+1)の項の係数を比べて等式nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1)が成り立つことを証明せよ。

《解答》
(1+x)^n=nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n

ゆえに,(1+x)^n・(1+x)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は
【nCr+nC(r+1)】

一方,(1+x)^(n+1)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は (n+1)C(r+1)
ここで,(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)であるから,両辺の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は等しい。
ゆえに nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1)



質問したいのは、【 】で囲った部分です。
なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか?
理由を教えてください。宜しくお願いします。

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A 回答 (1件)

> なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか?


> 理由を教えてください。宜しくお願いします。

ただ単に、計算(展開して整理)するとそうなるからです。

(1+x)^n = nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n
なので(1+x)^n・(1+x)は
(1+x)^n・(1+x) = {nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・(1+x)
となりますよね。
あとはこれに分配法則を使って

{nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・(1+x)
={nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・1
 + {nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・x

と展開してあげます。
後は{nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・1と
{nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・xをそれぞれ展開し、
同類項をまとめてみましょう。
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    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
疑問が解決しました。

お礼日時:2011/04/10 18:32

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Q腐葉土20kgを3,000円で買いますか?

質の良い悪いを考えず、腐葉土20kgを3,000円で買いますか?

買う・買わない の他にいくらだと買うかも教えていただけると嬉しいです。

肥料の市場価格は20kg  2,000円~5,000円です。

Aベストアンサー

鶏糞なら150円ぐらいでしょうか。
給食の残飯と樹木の発酵物が高価に売られていたりしますが、
近隣でも、腐葉土は袋持ち込みだと無料ってところもあったりして。
(ただ、自分にような宮仕えだと平日配布の参加は不可能にちかいですからね)
3000円/日でも考えます。
これから秋です。丸1日堆肥集めをすればすごいことができますし。
ちょっとはずかしいけど、公園へ行けば、数100kg/1日は間違いないです。
アルミ缶集めと違い、敵はいませんから。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q飛行機で、荷物預けるのは20kgまでですよね?

飛行機で荷物を無料で預けられるのは1人20kgまで
ですよね?

先日、旅行からの帰りで飛行機に乗ったとき2人で
40kgを少し超えていました(空港で体重計みたい
なのに乗せた時の目盛りで)。

1人20kgを超えても大丈夫なんでしょうか?
スーツケースの重さとかを考慮しているんですか?

Aベストアンサー

まず 何処に旅行に行かれました?
アメリカ線の場合は個数で重量は関係ありませんが
それ以外はエコノミーは20キロ、ビジネス30キロ、ファースト40キロが無料です。重量超過分にきっちりと割り増しを取る航空会社もありますが大目に見てくれるところもあります。

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Q20kg確実に痩せる方法

20kg確実に痩せる方法教えてください。

なんでもいいです
運動も必要ならばします

3ヶ月~半年くらいで痩せるのが一番自分の中でベストなのですが、時間はこの際気にしません。
なるべく長く続くものだと嬉しいです

確実に20kg痩せるアドバイスお願いします
期間も出来れば参考ため聞かせて下さると幸いです

Aベストアンサー

確実に痩せる方法は食事制限です。簡単に言えば、食べる量を減らすことです。運動は少々やったところで思うほどは痩せません。次のようにすれば確実に痩せます。

(1)朝食は1日のエネルギー源としてしっかり食べる。昼食も欠かさず食べる。ただし外食(コンビニ弁当を含む)はどれもこれも高カロリーなので、自前のお弁当にする。
(2)夕食は、それまで食べていた量の半分にする(見た目でよいから必ず食べる前に半分にする)。食べながら腹半分になったところで止めるのは不可。食べる量はどの食材も均等に減らすこと(偏って減らしてはいけない)。この夕食は午後7時までに済ませること。
(3)間食はいっさいしない。飲み物も水、お茶、砂糖なしのコーヒーか紅茶は自由に好きなだけ飲んでもよいが、それ以外はNG。ジュース類も不可。

身長154cm、体重は65kg、推定年齢30歳の女性なら、1日の消費カロリーは1,950kcal前後ではないか、と見られます。65kgの体重がいまのところ安定している(増減の傾向がない)場合は、消費カロリーと摂取カロリーはバランスしているので、あなたの摂取カロリーは1,950kcalです。もし食事の程度が夕食で4割くらい摂っているとすると、貴女の夕食のカロリーは780kcalです。これを半分にすると摂取カロリーは390kcal減ります。
体脂肪は1kgあたり7,200kcalです。なので1日の摂取カロリーを390kcal減らすと、54gの体脂肪が消費されます。1ヶ月では約1.6kgです。なので、12ヶ月で19kgあまり体重が減ることになります。
ただし、減量するほど1日の消費カロリーも減って痩せる効果が少なくなりますから、順調に行っても1年半はかかるかも知れません。

(1)~(3)を徹底的に行うと、確実に痩せます。ですが多くの人はダイエットに失敗しており、それは食事制限に我慢できなくなってとん挫するからです。例外を作って何かを口実にし、あるときに好きなものを好きなだけ食べると、それ以降は堰を切って食べるようになってしまい、失敗に帰しますからご注意あそばせ。

確実に痩せる方法は食事制限です。簡単に言えば、食べる量を減らすことです。運動は少々やったところで思うほどは痩せません。次のようにすれば確実に痩せます。

(1)朝食は1日のエネルギー源としてしっかり食べる。昼食も欠かさず食べる。ただし外食(コンビニ弁当を含む)はどれもこれも高カロリーなので、自前のお弁当にする。
(2)夕食は、それまで食べていた量の半分にする(見た目でよいから必ず食べる前に半分にする)。食べながら腹半分になったところで止めるのは不可。食べる量はどの食材も均等に...続きを読む

Q多項式P(x)=an・x^n+an-1・x^n-1+…+a1・x+a0

基本情報処理の過去問題
平成7年度 春期 第二種 午後 問2がわかりません


P(x)=an・x^n+an-1・x^n-1+…+a1・x+a0


anとxをつなぐ「・」が何を意味するものなのかもわかりません
解説を下さる方お願いします




http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/infoserv/j-siken/H7a2/g01.html

Aベストアンサー

こんにちは。

いわゆる「課題の丸投げ」は禁止事項ですので、解き方は回答できません。

「anとxをつなぐ「・」が何を意味するものか」
についてだけお答えします。

・は、掛け算の記号です。
たとえば、
an-2x^n-2
と書くと、
an-2 かける x^n-2
なのか
an - 2x^n-2
なのか、見た目にわかりにくいです。

ですから、
an-2・x^n-2
と書けば、
an-2 かける x^n-2
であることが、読み手にとってはっきりします。

Q20kgくらいダイエットすると顔は変わっちゃいますか?

20kgくらいダイエットすると顔は変わっちゃいますか?

Aベストアンサー

20Kgくらいダイエットすれば相当顔は
変わると思います。
心配なのは無理なダイエットは健康を損なうので
オススメはしないです(;・∀・)
ダイエットってなかなか難しいですよね。
失敗ばかりしていると、正直成功した時のイメージが結びつかないですよね。
どうせやるなら成功したいですよね(*^▽^*)

ダイエットに成功した後の自分って想像したことあるでしょうか。
やっぱり、やせた後どんな姿になるのかを想像することで
やせようっていうモチベーションを上げることができるようになります。

そこで一番効果的なダイエット方法とはどんなものか
参考にしていただけると嬉しいです。


ポイントその1 「食事は腹八分目がいい!!」


満腹と感じるまではどんどん食べ続けてしまうのですが
これは人間の脳の満腹中枢が満たされてないのが原因です。
食べ過ぎの原因にもなるので、できれば食事をする時は
なるべくゆっくり噛んで満腹中枢を刺激すれば腹八分目で
抑えることができます。

※スムージーダイエットはオススメします♪
朝食に野菜の入ったスムージーを摂るといったダイエット方法です。
朝起きてすぐに摂ってあげると、腸の動きも活発になって
身体の調子もだいぶ良くなる傾向にあるようです。
特におススメは、緑黄色野菜の成分がたくさん入っているスムージーです。


ポイントその2 「運動を取り入れる!!」


食事も大事ですが、やはり運動も大事です。
特に水泳が全身運動になるのですごく効果的です。
あとはスポーツジムに通うのも理想的ですが、正直忙しいと
通う時間もないと思うので、簡単にジョギングしたり
通勤、通学時はなるべくウォーキングするとかで
十分効果は期待できます!(^^)!


ポイントその3 「何事も継続すること!!」


一番大事なことですが、何事も継続が大事です。
自分が今までやってきたことが未来の結果なので
たとえ少しでもコツコツやり続けことが成功の
近道ですし、痩せた時の自分をイメージしてはいかがでしょうか。

毎日鏡で自分の姿を見ていると、自分がどのくらいやせているか
徐々に変化が出てきます。変化が見えてくると、
日に日に成功した自分を想像しやすくなるかもしれませんね。

20Kgくらいダイエットすれば相当顔は
変わると思います。
心配なのは無理なダイエットは健康を損なうので
オススメはしないです(;・∀・)
ダイエットってなかなか難しいですよね。
失敗ばかりしていると、正直成功した時のイメージが結びつかないですよね。
どうせやるなら成功したいですよね(*^▽^*)

ダイエットに成功した後の自分って想像したことあるでしょうか。
やっぱり、やせた後どんな姿になるのかを想像することで
やせようっていうモチベーションを上げることができるようになります。

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Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Q20kgのダイエットのアドバイスください

現在174cm94kgの男です
20kg体重を減らしたいです
食事、運動、何ヶ月かかるか
教えてください

Aベストアンサー

○大幅な減量をするなら、有効な食事の仕方は大きくわけて3種類あります。
一つは完全に糖質制限を行なうこと、
もう一つはその日の生活強度に合わせて糖質の量を増減することです。
どちらにしても、砂糖や白米の量を減らすのが主な狙いです。
この二つは定期的に激しい空腹感をもたらすので減量中は要注意。
最後に、その日の食事をまとめて摂るようにし、
何も食べない時間を作るという方法です。
長時間栄養がもたらされないと人間の体は脂肪だけをエネルギーにして活動するので
そのシステムを生かして体脂肪を減らそうということですね。
朝食を抜いて昼以降しっかり食べるのがいいんじゃないでしょうか。

3つのうちどれを選んでも、摂取カロリーの平均が1日2000程度になるようにします。

○運動は普通のウェイトトレーニングでいいでしょう。
設備があればどんな体力の人でもできますから、
手軽さと個人の特異性に合わせられるという面で並ぶものはないです。

○期間は月に4kgずつ減らしてまずは3ヶ月継続、
その後2ヶ月の維持期間を置いてそこから2ヶ月再開。
これで20kg減りますね。

これで質問には答えられたと思います。
少し補足すると、
完全に糖質を制限しても、芋以外の野菜類や果物からの糖質は気にしなくて構いません。
積極的に糖質を摂らなければ体脂肪はあっという間に減っていきます。
生活強度に合わせてというのは筋トレをやった日はご飯を茶碗に2杯まで食べてよく、
トレのない日は一日でご飯1杯まで、代わりに脂肪を摂るようにするということです。
トレをやった日はトレ後の食事で2杯食べるのがいいですね。

減量を1週間ほど続けるとホルモンバランスが変化し体脂肪を溜め込みやすくなります。
それを防ぐために2週間に1回ほど、
何でも好きに食べていい日を設けましょう。
しっかり食べてるぞというシグナルを発生させることで
体脂肪貯蔵のメカニズムを騙すのが目的です。
毎日の平均摂取カロリーを2000ほどにしてますから、
その日だけは特別に4000ほど食べるといいですね。
(というよりもそれくらい食べなければいけません)
2ヶ月の維持期間を置くのには別の意味があります。
厳しいカロリー制限に体を順応させるということです。
維持期間は平均2500程度に増やして体重の増減を抑えてください。

半年後の見違えたあなたが待ってますよ。

○大幅な減量をするなら、有効な食事の仕方は大きくわけて3種類あります。
一つは完全に糖質制限を行なうこと、
もう一つはその日の生活強度に合わせて糖質の量を増減することです。
どちらにしても、砂糖や白米の量を減らすのが主な狙いです。
この二つは定期的に激しい空腹感をもたらすので減量中は要注意。
最後に、その日の食事をまとめて摂るようにし、
何も食べない時間を作るという方法です。
長時間栄養がもたらされないと人間の体は脂肪だけをエネルギーにして活動するので
そのシステムを生かして体脂肪...続きを読む

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?


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