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《問題》
(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)において,x^(r+1)の項の係数を比べて等式nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1)が成り立つことを証明せよ。

《解答》
(1+x)^n=nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n

ゆえに,(1+x)^n・(1+x)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は
【nCr+nC(r+1)】

一方,(1+x)^(n+1)の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は (n+1)C(r+1)
ここで,(1+x)^n・(1+x)=(1+x)^(n+1)であるから,両辺の展開式におけるx^(r+1)の項の係数は等しい。
ゆえに nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1)



質問したいのは、【 】で囲った部分です。
なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか?
理由を教えてください。宜しくお願いします。

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A 回答 (1件)

> なぜ、係数として、そのようなものが出てきたのでしょうか?


> 理由を教えてください。宜しくお願いします。

ただ単に、計算(展開して整理)するとそうなるからです。

(1+x)^n = nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n
なので(1+x)^n・(1+x)は
(1+x)^n・(1+x) = {nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・(1+x)
となりますよね。
あとはこれに分配法則を使って

{nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・(1+x)
={nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・1
 + {nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・x

と展開してあげます。
後は{nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・1と
{nC0+nC1(x)+…+nCr(x)^r+nC(r+1)x^(r+1)+…+nCn(x)^n}・xをそれぞれ展開し、
同類項をまとめてみましょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
疑問が解決しました。

お礼日時:2011/04/10 18:32

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