整数P(x)をx-1で割ると13余り、(x+1)2乗でわると-x+2余る。
P(x)を(x-1)(x+1)2乗で割ったときの余りを求めよ。






を教えてください<(_ _*)>

A 回答 (3件)

P(X)=(X-1)L(x)+13


P(X)=(X+1)^2H(x)ーx+2

P(X)=(X-1)(X+1)^2Q(x)+Ax^2+Bx+C
とすると

P(1)=A+B+C=13
P(-1)=A-B+C=3
P’(-1)=-2A+B=-1

A=3,B=5,C=5
こたえ  3X^2+5X+5
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与えられた条件より、


P(x) = (x-1) Q(x) + 13
P(x) = (x + 1)^2 R(x)-x + 2
P(x) = (x-1) (x + 1)^2 S(x) + ax^2 + bx + c
とおく。ここまでは No.2 さんとまったく同じで、他にこれといった解法もないでしょう。

質問者様が微分をある程度知っているなら、そのまま No.2 さんの解法で無事終了。
微分を知らないなら、3番目の
P(x) = (x-1) (x + 1)^2 S(x) + ax^2 + bx + c を変形して、
= (x-1) (x + 1)^2 S(x) + a(x + 1)^2-2ax-a + bx + c
= (x + 1)^2 { (x-1) S(x) + a } + (-2a + b)x + (-a + c)
2番目と係数を比較して、-2a + b = -1, -a + c = 2
それに P(1) = a + b + c = 13
これでも a, b, c の値は求まります。
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求める余りをax+bとすると


P(x)=(x-1)(x+1)^2Q(x)+ax+bとなります
また条件より
x-1で割ると余りが13より
P(1)=a+b=13---(1)
(x+1)^2で割ると余りが-x+2より
P(-1)=-a+b=(-1)+2=1---(2)
b=1+aを(1)に代入
a+1+a=13
2a=12
a=6
b=7
よって余りは6x+7
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Q剰余の定理の応用問題 解き方を教えてください。

次の問題の回答をお願いします。


数式P(x)をx^2+4で割るとx-3余り、x^2-2x+2で割るとx+7余るという。

このとき、P(x)をx^2+4で割った商をx^2-2x+2で割った余りを求めよ。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的に剰余の問題は,題意通りに式を立てれば解けます。

題意から
  P(x) = (x^2 + 4) * Q1(x) + x - 3     (1)
  P(x) = (x^2 - 2x + 2) * Q2(x) + x + 7  (2)
とできる。
P(x) を x^2 + 4 で割った商(= Q1(x))を x^2 - 2x + 2で割った余りを ax + b とすると,
(2次式で割った余りは1次式以下なので,ax + b にしています。)
(例えば,x^3 + *** で割った余りなら,ax^2 + bx + c になります。)
  Q1(x) = (x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b
とあらわされるから,(1) に代入して,
  P(x) = (x^2 + 4) * ((x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b) + x - 3
     = (x^2 + 4) * (x^2 - 2x + 2) * R(x) + (x^2 + 4) * (ax + b) + x - 3
     = (x^2 + 4) * (x^2 - 2x + 2) * R(x)
+ (ax + 2a + b) * (x^2 - 2x + 2) + (6a + 2b + 1)x - 4a + 2b - 3
      (展開して x^2 -2x + 2 で割り算)
(2) と比較して,
   6a + 2b + 1 = 1
  -4a + 2b - 3 = 7
したがって,a = -1, b = 3 となり,余りは -x + 3 である。

簡単に検算すると,R(x)=0 とすれば,Q1(x) = -x + 3 なので,
(1) に代入して,
  P(x) = (x^2 + 4) * (-x + 3) + x - 3
     = -x^3 + 3x^2 -3x + 9 = (-x + 1) * (x^2 -2x + 2) + x + 7
となって,(2) に矛盾していないので,大丈夫でしょう。
計算ミスしてるかもしれないので,ご自身で確認してみてください。

基本的に剰余の問題は,題意通りに式を立てれば解けます。

題意から
  P(x) = (x^2 + 4) * Q1(x) + x - 3     (1)
  P(x) = (x^2 - 2x + 2) * Q2(x) + x + 7  (2)
とできる。
P(x) を x^2 + 4 で割った商(= Q1(x))を x^2 - 2x + 2で割った余りを ax + b とすると,
(2次式で割った余りは1次式以下なので,ax + b にしています。)
(例えば,x^3 + *** で割った余りなら,ax^2 + bx + c になります。)
  Q1(x) = (x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b
とあらわされるから,(1) に代入して,
  P(x)...続きを読む

Q剰余の定理についてです。

剰余の定理についてです。

整式P(X)を(X-1)2乗で割ったときのあまりが4X-5
X+2で割ったときのあまりが-4である。


P(X)を(X-1)2乗(X+2)で割ったときのあまりを求めよ

というもんだいです。
解法を教えてください(__)

Aベストアンサー

これは標準的な問題ですのでしっかりマスターしておいてください。

P(x)=Q(x)(x-1)^2*(x+2) +R(x)…(1)
R(x)=ax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5 …(2)
とおける。R(x)が求める余りです。

使っていない条件「x+2で割ったときのあまりが-4である。」から
(1),(2)より
P(-2)=R(-2)=9a-8-5=9a-13=-4
9a=9 ∴a=1 …(3)
(2)から
R(x)=(x-1)^2+4x-5
∴R(x)=x^2 +2x-4


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