図Iのような台形ABCDがあり、頂点AからBCに垂線AEを引く。
台形ABCDを直線Lを軸として1回転させて、図IIのような回転体をつくるとき、
回転体の体積を求めよ。

という問題です。
解説お願いします><

ちなみに答えは
3分の152πcm3 です。

前の問いで
・AEの長さ/4cm(図に書き込みました)
・回転体の内側にできる円すいの体積/3分の4π

を求めました。

できるだけ詳しく解説していただけると助かります><

図IIはこちらです↓
http://24.xmbs.jp/pb2.php?ID=qb62ans&c_num=41216 …

「【至急】中3 数学教えてください」の質問画像

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A 回答 (2件)

内側にできる円錐も含めた円錐台の体積を求めます。



ADを軸Lと交差するまで伸ばして、軸Lとの交点をFとします。
BAを軸Lと交差するまで伸ばして、軸Lとの交点をGとします。

すると、求める円錐台の体積は、△GBCを回転させた円錐台の体積から、△GAFを回転させた円錐台の体積を引けば求められます。

そして、その円錐台から、内側にできる円錐の体積を引けば、答が出ます。

ibooons2さんは、過去の質問を見ると、いくつも相似に関する質問をして、回答してもらっているにもかかわらず、未だに相似を理解できていないようなので、GFの長さがいくつになるか解らないでしょうから、そこから説明します。

△GBC∽△ABEなので、
GC/BC=AE/BE
GC/5=4/3
GC=20/3
GF=20/3-4=8/3

他のやり方としては、
△GAF∽△ABEなので
GF/AF=AE/BE
GF/2=4/3
GF=8/3
GC=GF+FC=8/3+4=20/3

△GBCは、底辺5、高さ20/3なので、円錐の体積は、5×5×π×20/3÷3=500π/9
△GAFは、底辺2、高さ8/3なので、円錐の体積は、2×2×π×8/3÷3=32π/9

△GBC-△GAF=468π/9=52π

内側にできる円錐の体積を引くと、
52π-4π/3
=156π/3-4π/3
=152π/3
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まず、大きな三角錐を想定します。



この想定ですが、まずはわかりやすいために平面から考えていきます。
図1にある四角形を直角三角形になるように作ってみてください。(図を書かないためにわかりづらいと思いますが)

できた三角形でわかる範囲は底辺が5cmで途中までの高さが4cmであるということ
小さい三角形の底辺が2cmであるということです。
ここで、この三角形の中に高さを4cmになるように小さな直角三角形を書いてみてください。
そうすると底辺3cm高さ4cmの三角形ができると思います。

これができたら、全体の高さを求めることができますよね!?
全体の高さをXとおくと、

3:5=4:X  となります。 X=3分の20ですね

あとはこの三角形を回転させて三角錐を作ります。底辺は5cm、高さ3分の20cm

よって、大きな三角錐の体積は9分の500π

この体積から余分なとこの体積を引いてやればいいのです。

うえにある余分な三角錐は底辺2cm、高さ3分の8cm
よって、小さい三角錐の体積は9分の32π

あと、もともとのいらない部分の体積が3分の4πなので

(9分の500ー9分の32ー3分の4)π=3分の152π

となります。

わかりずらいかな?
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Q体積から重量の計算方法

昨年よりネット通販の業務に就いたばかり、ズブの素人でわからない事ばかりですが、その中で商品を発送する際にある運送会社を使って商品を発送する際は、料金表が重量基準(kg)となっている為、重量がわからない場合は、その商品の体積(M3)より重量を計算する必要があるのですが、計算の仕方がよくわかならいので出入りしている運送業者にたずねたところ、業界的には、体積より重量を計算する場合は、体積(M3)x280=換算重量(kg)になると教えられました。(例:体積1m3の場合 1x1x1x280=280kg) しかしながら、この計算方法についての(特に280という値)の根拠を聞いたところ、その人も昔からこれで教わったので根拠についてはよくわからないとの事です。 今、会社の上役よりこの計算方法について色々つっこまれていますが自分自身この計算方法の根拠が正しいのかよくわかりません。 どなたかこの計算方法が果たして正しいのか? その場合の根拠(280とう値等)、正しくない場合は、どの様に体積から重量へ換算すればよいのかアドバイス頂けますでしょうか? (色んなサイトを見ると水で考えると1m3=1t等の算数的説明がありますが出来れば実務的な方法でご教授頂ければ幸いです。)

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Aベストアンサー

クロネコヤマトの「容積換算重量」にその「280」という数字を使います。
http://www.kuronekoyamato.co.jp/yamatobin/yamatobin.html

>お荷物1つあたりの「重量」は、実重量を測った上で容積換算(下記参照)を行い、
>「容積換算重量」と比較して重い方が「重量」となります。

>【容積換算式】
>縦(メートル)×横(メートル)×高さ(メートル)×280=容積換算重量(kg)

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クロネコのように説明ページにも載ってるのでこれを示せばよろしいのでは。

QAB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積

「AB=AC=AD=13, BC=BD=13, CD=10 である三角すいABCD の体積を求めなさい。」と言う問題の解説部分についての質問です。

---------<解説(「・・・#」は質問のために追加)>---------
A から平面BCDに下ろした垂線の足をHとする。AB=AC=ADより, H は△BCDの外心となる。
△BCD は BC=BD の二等辺三角形だから, BH とCD の交点 M は CD の中点になる。
∴BM=√(13^2-5^2)=12=AM
また△ABMで,M からABに下ろした垂線の足を N とすると, AN=BN=13/2
∴cos∠ABM = BN/BM = 13/24 (・・・#)
sin∠ABM = √407 / 24
よってAH = 13sin∠ABM = 13√407 / 24
したがって三角すいABCDの体積は,(1/2)・10・12・(13√407 /24)・(1/3)=65√407/6
---------------------------------------------
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

#3です。
補足します。

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Q正四面体ABCDの頂点からおろした垂線と外接球の中心が同一直線上にある理由

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Aベストアンサー

あまり難しく考えずに, 外接球の中心 O を xyz 座標空間の原点に, A を z 軸上の正の部分に取り,
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あとは数式計算により, H が z 軸上にあることを証明するだけです.

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Q体積の計算を教えてください

次の物体の体積がわかりません。
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Aベストアンサー

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
よって、切り口の円の半径は s
円の式は x^2+z^2=s^2

したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
x^2+z^2=y^2  ・・・式1
で表せます。

次に方向を変えて、この円錐を、xy平面に平行な平面z=sで切ると、切り口は図3のような双曲線の一部になります。
(放物線ではない。)
式1に z=s を代入して、
x^2+s^2=y^2
x=±√(y^2-s^2)  ・・・式2
y=±√(x^2+s^2)  ・・・式3

ここから先は、2通りのうち好きな方で積分をして
車線部分の面積 S(s) を求めます。

しかし、質問者さんが積分を習っていなかったり、積分での答えを求めていなかったら、意味ないので、計算は省略します。

解法1
S(s)=∫【s~12】{√(y^2-s^2)-(-√(y^2-s^2))}dy
=2∫【s~12】√(y^2-s^2)dy

解法2
S(s)=∫【-√(12^2-s^2)~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx
=2∫【0~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx

どちらでも S(s) は同じ式になると思います。
あとは、問題で与えられた範囲で面積を積分して体積を求めます。

(小さい方の体積)=∫【6.9~12】S(s)ds

以上です。
積分は公式を見ながらがんばってください。

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計算は出来ます。
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4点をABCDとします。
三角形ABCの面積を求めます。
 -BCの長さ、ACの長さ、ABの長さを計算してヘロンの公式
 -角A、ABの長さ、ACの長さを計算して
点DからABCのなす面への距離を求めます。
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とか。

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方法はともあれ、とにかく体積が知りたいぜ。って場合、Excel用のオンラインソフトなどから座標入力できるものが無いか、探してみては?

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計算は出来ます。
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4点をABCDとします。
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