図Iのような台形ABCDがあり、頂点AからBCに垂線AEを引く。
台形ABCDを直線Lを軸として1回転させて、図IIのような回転体をつくるとき、
回転体の体積を求めよ。

という問題です。
解説お願いします><

ちなみに答えは
3分の152πcm3 です。

前の問いで
・AEの長さ/4cm(図に書き込みました)
・回転体の内側にできる円すいの体積/3分の4π

を求めました。

できるだけ詳しく解説していただけると助かります><

図IIはこちらです↓
http://24.xmbs.jp/pb2.php?ID=qb62ans&c_num=41216 …

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A 回答 (2件)

内側にできる円錐も含めた円錐台の体積を求めます。



ADを軸Lと交差するまで伸ばして、軸Lとの交点をFとします。
BAを軸Lと交差するまで伸ばして、軸Lとの交点をGとします。

すると、求める円錐台の体積は、△GBCを回転させた円錐台の体積から、△GAFを回転させた円錐台の体積を引けば求められます。

そして、その円錐台から、内側にできる円錐の体積を引けば、答が出ます。

ibooons2さんは、過去の質問を見ると、いくつも相似に関する質問をして、回答してもらっているにもかかわらず、未だに相似を理解できていないようなので、GFの長さがいくつになるか解らないでしょうから、そこから説明します。

△GBC∽△ABEなので、
GC/BC=AE/BE
GC/5=4/3
GC=20/3
GF=20/3-4=8/3

他のやり方としては、
△GAF∽△ABEなので
GF/AF=AE/BE
GF/2=4/3
GF=8/3
GC=GF+FC=8/3+4=20/3

△GBCは、底辺5、高さ20/3なので、円錐の体積は、5×5×π×20/3÷3=500π/9
△GAFは、底辺2、高さ8/3なので、円錐の体積は、2×2×π×8/3÷3=32π/9

△GBC-△GAF=468π/9=52π

内側にできる円錐の体積を引くと、
52π-4π/3
=156π/3-4π/3
=152π/3
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まず、大きな三角錐を想定します。



この想定ですが、まずはわかりやすいために平面から考えていきます。
図1にある四角形を直角三角形になるように作ってみてください。(図を書かないためにわかりづらいと思いますが)

できた三角形でわかる範囲は底辺が5cmで途中までの高さが4cmであるということ
小さい三角形の底辺が2cmであるということです。
ここで、この三角形の中に高さを4cmになるように小さな直角三角形を書いてみてください。
そうすると底辺3cm高さ4cmの三角形ができると思います。

これができたら、全体の高さを求めることができますよね!?
全体の高さをXとおくと、

3:5=4:X  となります。 X=3分の20ですね

あとはこの三角形を回転させて三角錐を作ります。底辺は5cm、高さ3分の20cm

よって、大きな三角錐の体積は9分の500π

この体積から余分なとこの体積を引いてやればいいのです。

うえにある余分な三角錐は底辺2cm、高さ3分の8cm
よって、小さい三角錐の体積は9分の32π

あと、もともとのいらない部分の体積が3分の4πなので

(9分の500ー9分の32ー3分の4)π=3分の152π

となります。

わかりずらいかな?
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