Re(s)>1, f_n(s):=1/n^sの時, 関数列{f_n(s)}が広義一様収束
となる事を示したしたいのですが

どのようにすれば示せますでしょうか?

一応,広義一様収束の定義は
「D⊂C, f_n,f:D→Cとする。{f_n}がfにD上広義一様収束する
⇔ ∀D'∈{D';D⊃D'は有界閉集合}, lim_{n→∞}sup{|f_n(z)-f(z)|∈R;z∈D'}=0」
だと思います。

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A 回答 (3件)

あぁ…


級数じゃなくて、項の極限ですね。
最近、ここのカテゴリーでよく
ゼータ関数がらみの質問を見かけるので、
勘違いしました。失礼。
それなら、優級数定理は必要なくて、
0 < |1/nのs乗| < 1/nのt乗 から、
ハサミウチの定理を使うだけです。
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この回答へのお礼

どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。

お礼日時:2011/04/24 02:59

s∈D' における Re(s) の下限を r とすると、


1 < t < r となるような定数 t がとれる。
この t について、|1/nのs乗| < 1/nのt乗
が成り立つ。
ここが、前述の「Re(s) について単調減少」の意味。
よって、Σ1/nのt乗 が収束するならば、
優級数収束定理により、
Σ1/nのs乗 は、s∈D' で一様絶対収束する。
すなわち、s∈D では広義一様収束することになる。
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

> s∈D' における Re(s) の下限を r とすると、

{s∈C;Re(s)>1}は開集合だから有界閉集合D'が採れD'は有界だから下限rが存在し,

> 1 < t < r となるような定数 t がとれる。

実数の稠密性からそのような定数tが採れますね。

> この t について、|1/nのs乗| < 1/nのt乗
> が成り立つ。

納得です。

> ここが、前述の「Re(s) について単調減少」の意味。
> よって、Σ1/nのt乗 が収束するならば、
> 優級数収束定理により、

優級数収束定理とは
「φ≠A,B⊂Cで{f_n}がAからBへの関数列とする。この時
∃{M_n}⊂C;∀n∈N,∀z∈Aに対して,|f_n(z)|≦M_n且つΣ_{n=1}^∞M_n∈C⇒Σ_{n=1}^∞f_n(z)はA上で絶対一様収束する。特にこのΣ_{n=1}^∞M_nをf_n(s)のmajorant級数と呼ぶ」
ですよね。

> Σ1/nのs乗 は、s∈D' で一様絶対収束する。
> すなわち、s∈D では広義一様収束することになる。

今,級数Σ_{n=1}^∞ 1/n^sの広義一様収束ではなく,関数列{1/n^s}の広義一様収束を示しているのですが、、、
どうすれば関数列{1/n^s}の広義一様収束が言えますでしょうか?

お礼日時:2011/04/12 17:02

その級数の絶対級数は、Re(s)>1 の範囲で


Re(s) について単調減少する。
これで十分では?
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この回答へのお礼

> その級数の絶対級数は、

これはΣ_{n=1}^∞|1/n^s|の事でしょうか?

> Re(s)>1 の範囲で
> Re(s) について単調減少する。

"Re(s)について単調減少する"とはどういう意味なのでしょうか?

すいません。もう少し詳しくお願い致します。

お礼日時:2011/04/11 19:48

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Q終息と収束の違い

先日Alizとかいうワームが会社中に蔓延し、大変な労力を取られたのですが、やっと落ち着いてきました。
この場合、「収束宣言」なのか「終息宣言」なのか、どちらでしょうか。
「サメ事件の収束宣言」
「火山の終息宣言」
と新聞はいろいろな書き方をしているように思われますが、正しい使い方をご教授いただけないでしょうか。

Aベストアンサー

 
  一般的な言葉の用法というか、意味について述べます。
 
  収束も終息も、ものごとや事態が、ある時間的推移の後、別の状態になることを意味する一般的な言葉で、ものごとや事態が、人間にとって都合がよいか悪いかは関係がありません。
 
  非常に簡単に言えば、「収束」とは、事態が「あるまとまりになること・収まる」ことです。「終息」は、単純に、事態が「終わる」ことです。
 
  収束というのは、文字を見ると分かりますが、「束に収まる」という意味です。これは、広がりがある事態が、「束」つまり、ある「まとまり」へと移行することで、まとまりに収まることが、秩序状態だとすると、無秩序だったのが、秩序になるという風な意味になります。
 
  終息というのは、「息が終わる」と読めます。これは人が死んで息がなくなるというような感じがしますが、人の死についてというより、物事の事態が、死ぬように、終わりを迎えるということです。
 
  「よき時代の収束」とは言いませんが、「よき時代の終息」とは言います。
  「収束」の場合も、よい事態が、悪い方へ収束するというのもあるはずですが、例文を造ろうと思うと適当なものがとりあえず思いつきません。「収まる」というのが、やはり、よいことだというような感じがあるためでしょう。
 
  というような意味・ニュアンスなのが、「収束」と「終息」です。
 
  ですから、「サメ事件」は、「収束」でも「終息」でもいいのですが、サメ事件は、毎年起こる可能性があるので、今年は「収束」を迎えた、あるいは、今回の事件は収束を迎えた、しかし、そう思っているとまた、サメに襲われたという通報があって、収まったものが、またばらけるという可能性があるので、「収束」を使っているのでしょう。
 
  他方、火山の「終息宣言」というのは、火山騒動も「収束」を迎えたというなら使えますが、火山活動は、始まるか終わるで、あまり、「収まる」ものではありません。「治まる」というような感じです。従って、火山活動の場合は、「終息」の方が相応しいということになります。

  終息宣言を出したと思ったら、翌日にまた活動を再開した場合、これは火山活動についての学者の予測あるいは判断が間違っていて、火山活動は実はまだ終息していなかったのです。他方、サメ事件の場合は、一頭あるいは数頭のサメで起こっていたサメ事件が、原因となるサメが捕獲されたり、外洋に去ったことが確実だと思えた場合、人々の心の動揺などが「収束」を迎えたのです。しかし、別のサメが現れると、またサメだという動揺が起こるでしょう。サメ事件の場合にも、「終息」が使えますが、あるサメ事件は終息しても、次のサメ事件がすぐ後に起こるかも知れないので、人心の動揺などの意味のサメ事件は、収束はするが、終息は難しいということです。
 
  こういう言葉の使い方は、言葉の基本的な意味を知り、場合場合で適切かどうかの判断が必要になります。新聞記事と言っても、表現がおかしい例は幾らでもあります。また、おかしい表現がそのまま定着して、そういう用法が生まれてしまうこともあります。言葉の意味は、時代と共に変化して行きます。
 

 
  一般的な言葉の用法というか、意味について述べます。
 
  収束も終息も、ものごとや事態が、ある時間的推移の後、別の状態になることを意味する一般的な言葉で、ものごとや事態が、人間にとって都合がよいか悪いかは関係がありません。
 
  非常に簡単に言えば、「収束」とは、事態が「あるまとまりになること・収まる」ことです。「終息」は、単純に、事態が「終わる」ことです。
 
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QΣ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ

こんにちは。

[問]Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ。
[証]
(i) a≦x<1の時
0<∀ε∈R,∃n_1∈N;(∀x,n_1<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
が言えるのですがn_1,n_2,n_3をどのように採ればいいのかわかりません。
どのように採れますでしょうか?

あと、後半については0<∀ε∈R,xを十分小さく取れば∀n∈N⇒Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2>ε
を言えばいいのだと思いますがxをどのように小さく採ればいいのでしょうか?

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を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
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Aベストアンサー

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weierstrassの優級数の定理よりΣ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は一様収束する。


(0,∞)で一様収束しないこと

一様収束すると仮定する。十分小さい任意のε>0に対して、適当な番号N>0が存在する。
N<nに対して、x=1/(2n)とすると

Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+2n・1/(2n))^2
                      ≧n×(√(n+1))/4
                      >ε

となって矛盾となる。
したがって、Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は(0,∞)で一様収束しない。


※一般的に関数列の一様収束性を定義に基づいて示すことは困難です。そのため、Weierstrassの優級数の定理等を用いて示すのが常道です。(0,∞)で一様収束しないことを示すのにはCauchy列の条件を使っています。
質問者さんがしっかり勉強してくれることを望みます。

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weier...続きを読む

Q新型インフルエンザの流行の収束(終息)について

新型インフルエンザが広まったら、「なるべく出かけない」「電車の混雑を今の2割程度に抑える」「2週間分の食料を備蓄することが望ましい」などという話になっているようです。
しかし、鳥インフルエンザが人から人へ移るような変異が1度起きたら最後、厳重に隔離せねば世界中で大流行...、とか、空港で水際で防ぐ、とか、その辺の話とずいぶん矛盾があるような気がします。
いったん流行したのを、みんなが閉じこもって「嵐が過ぎるのを待つ」ようなことで、本当に終息するのでしょうか。全員が一度かかって抗体を持つか、(流行後には作成できるであろう)ワクチンを接種するでもしないと、ダメなんじゃないかという気がするのです。
たった一人の患者が発端で流行する可能性があるなら、流行語は、少なくとも最後の一人の患者が治るまでは、(まだかかってない人は)自宅謹慎が必要なのではないでしょうか。

Aベストアンサー

Q、新型インフルエンザの流行の収束(終息)について。
A、短期の流行の収束と長期の流行の収束とがあると思います。

短期の流行は、中国語南東部で発生し東西に侵攻。
東軍は、アメリカ大陸を南下してチリの南端辺りで消滅。
西軍は、ヨーロッパを席巻しアフリカ大陸を南下し喜望峰近辺で消滅。
まあ、それ以上は侵攻する訳にもいかないので軍隊も流れ解散すると思います。

更に、局部的な戦闘には、必ず、季節柄ってのがあると思います。
冬を中心に猛威を振るって夏を持って一時的に戦闘も下火に。

長期の流行は、この東侵、西侵を繰り返していく中で新種との世代交代時期を迎えて収束。

こんなんだと思います。

>なるべく出かけない。
>電車の混雑を今の2割程度に抑える。
>2週間分の食料を備蓄することが望ましい。

これは、医療機関の対応能力以上の爆発的な流行を避けるのが目的。
これは、医療機関の対応能力の限界越えを国民の自衛で防ごうということでしょう。
これは、もって被害者数を押さえ込むということでしょう。

QΣ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない

こんにちは。

[問]Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では
一様収束しない事を証明せよ。

が示せません。

一様収束の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)-Σ[k=1..n]1/k^(1+x)|≦ε)
です。


"p>1の時Σ[n=1..∞]1/n^pは収束,p<1の時発散"より
0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから
Σ[k=1..∞]1/k^(1+c)<Σ[k=1..∞]1/k^(1+b)

とまで分かったのですがこれからどのようにして証明して分かりません。
どうぞご教示ください。

Aベストアンサー

こんばんは。♯1さんが指摘しているようにワイエルストラスの優級数の定理と一様収束の別の定義

0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<m<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=m+1..n]1/k^(1+x)|≦ε)

はご存知ですか?この事柄を使えば

(1)[a,∞) で一様収束すること
∀x∈[a,∞) に対して 1/k^{1+x}≦1/k^{1+a} かつ
Σ[k=1…∞]1/k^{1+a} は収束するからワイエルストラスの優級数の定理より Σ[k=1…∞]1/k^{1+x} は[a,∞) で一様収束する。

(2)(0,∞) で一様収束しないこと
(0,∞) で一様収束すると仮定する。∀ε>0 に対して十分大なる自然数Nが存在するが、xとしてN<n なる任意のnに対して

x < (log(n/ε)/log2n)-1

となるようにxを選べば

Σ[k=n…2n]1/k^{1+x} > n/(2n)^{1+x} > ε

となり矛盾となる。したがって (0,∞) で一様収束しない。

Qサブプライム問題による影響の収束はいつ頃(就職が心配)

再来年に就職を控えている経済専攻の学生です。
不動産とフィナンシャルの勉強をしていて、就職もそういう方向にと思っていたのですが
サブプライム問題があって、特に金融機関は厳しいように見受けられます。
就職に不安があるので、選択肢を幅広くしないといけないなと思っていますが
サブプライム問題による影響の収束(終息?)はいつ頃になるでしょうか。

Aベストアンサー

サブプライムの本質は返済不能な人々に融資したことではありません。ローン証書を細切れにして他の債権(国債とかIBMの社債とか)と組み合わせ、AAAの格付けを行い、これを金余りで運用に困っていた世界中の金融機関が買ったことにあります。特に欧州系の金融機関が大量に買い込みました。
CDOと言います。組み込まれたのはサブプライムだけではありません。様々な債権が新しい債権へと生まれ代わりました。今問題になっているのは、こうやって形を変えた資産担保証券の価値が誰にも分からないことです。ベアスターンズ証券がこの分野のエキスパートだった分けですが、AAAが格下げになるや否や、毎日1兆円の資金がベアスターンズから逃げていったそうです。
リーマンブラザーズは30兆円の債権を保有しているそうですが、値が付くのは6兆円で、残り24兆円は値が付かない。すなわち買い手がいないとのことです。いずれニ束三文で叩き売るのでしょうが、こういうことです。
一番の解決策は合衆国政府がこの債権を買い上げる、すなわち公的資金投入ですが、銃の所有を憲法が保証する国。自分の事は自分で解決しなさい。で期待できない。これが何を意味するか、大学の先生に聞いてみて下さい。
貴方が今すべきは何より実力をつけること。一生懸命勉強することが貴方を救うと思います。

参考URL:http://blog.goo.ne.jp/kitanotakeshi55/e/7f6475429e74ca3699f0ea75719dfabf

サブプライムの本質は返済不能な人々に融資したことではありません。ローン証書を細切れにして他の債権(国債とかIBMの社債とか)と組み合わせ、AAAの格付けを行い、これを金余りで運用に困っていた世界中の金融機関が買ったことにあります。特に欧州系の金融機関が大量に買い込みました。
CDOと言います。組み込まれたのはサブプライムだけではありません。様々な債権が新しい債権へと生まれ代わりました。今問題になっているのは、こうやって形を変えた資産担保証券の価値が誰にも分からないことです。ベア...続きを読む

Q数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1

数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) 0<s<r<1 で与えられている時、
Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3
を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ

Aベストアンサー

  a[n] = s^n
  b[n] = r^n
より、
  a[n]*b[n] = (s*r)^n
  a[n]/b[n] = (s/r)^n
もまた等比数列となる。

等比数列の和の極限は公式により求められるから、
  Σ[n=1~∞]{a[n]*b[n]} = 1/3
より
  s*r = 1/2
が分かり、
同様に
  Σ[n=1~∞]{a[n]/b[n]} = 3
より
  s/r = 3/4
が分かる。

二つの未知数s,rに対して、二式
  s*r = 1/2
  s/r = 3/4
が得られたから、あとはs<rという条件を加え、連立方程式を解くことでs,rの値が求まる。

Q類語辞典アプリについて

最近出先で類語辞典を使うことが増えました。
今までは講談社の類語辞典とオンラインのシソーラスを使っていましたが、講談社の類語辞典は語彙少なく、通信環境必須でした。
しかし必ずしも作業する環境が通信環境がいい状況でなかったりするのでオフラインで使える類語辞典を探しています。

角川類語新辞典と三省堂類語新辞典のどちらかの購入を考えています。
この2つのアプリはオフラインで使用できますか?
アプリ評価のサイトを色々探ったのですがオフラインについて記述が見当たりませんでした。
価格が価格だけに試しに買ってみるのはちょっとためらってしまいます(書籍の類語辞典買うよりは安いんですが…)

それと角川の方は2200円のものと1500円のものがあるので、どちらを使っているかも書いていただけると助かります。

ちなみに角川は大辞林との連携が売りですが、私はあまりそこは用途として必要としていません。

Aベストアンサー

角川の2種類と三省堂のものを持っています。
以下に挙げる辞書はすべてオフライン利用が可能です。
角川の1500円のほうは、説明文の単語をキーに再検索しようとすると、それを再入力しなければならず、UI的にダメです。

角川2500円のものと三省堂では個人的には三省堂のものが好みです。
理由は幾つかあって、角川2500円のほうで見つからなかった単語が幾つかあったこと(例えば「順手」)、三省堂のほうでは対義語も表示されること、三省堂のは他の辞書との連携が特定の辞書に限定されていないことなどです。

それから私がよく使う類語辞書を紹介します。
ネット上に存在するデータを使いローカルに持っているアプリですが、Word ouenというところが出している類義語辞書です。
この辞書では単語のみが表示されて用例や意味は表示されませんが、関連語というカテゴリがあって、類語からは外れる近い単語を表示してくれます。
また類語と共に英和・和英ができ、英語の類語と関連語も捜せるのが魅力的です。
意味や用例については外部辞書連携が利用できます。
広告は入りますが無料版もあります。

角川の2種類と三省堂のものを持っています。
以下に挙げる辞書はすべてオフライン利用が可能です。
角川の1500円のほうは、説明文の単語をキーに再検索しようとすると、それを再入力しなければならず、UI的にダメです。

角川2500円のものと三省堂では個人的には三省堂のものが好みです。
理由は幾つかあって、角川2500円のほうで見つからなかった単語が幾つかあったこと(例えば「順手」)、三省堂のほうでは対義語も表示されること、三省堂のは他の辞書との連携が特定の辞書に限定されていないことなどです。

そ...続きを読む

QΣ[n=1..∞]nx^n/(n^2+1)が(0,1)で一様収束しない事の証明

よろしくお願いいたします。
Σ[n=1..∞]nx^n/(n^2+1)が(0,1)で一様収束しない事を証明しています。

この和(極限関数)が不連続なら非一様収束である事を示せると思ったのですが
この和を求める事ができず途方に暮れてます。

どのようにして非一様収束である事が示せますでしょうか?

Aベストアンサー

元の課題は一様収束しないことを示すことですから、ε > 0 に対してどんなに大きな n を持ってきても |fn(x) - f(x)|<εとはならない x が定義域内に存在することを示せばよいですよね。それで、
lim[x→1] |fn(x) - f(x)| = ∞
なので、x = 1 近傍で |fn(x) - f(x)| > ε を示せるだろうと思った次第です。

で、考えてみたのですが、イマイチかな・・・。

任意の n と 0 < x < 1 に対して、m > n とすると、
|fn(x) - f(x)| = Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)
> Σ[k=n+1,m] k x^k / (k^2 + 1)
> x^m Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1) ・・・ (*)
ここで、
Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1) > ∫y/(y^2+1) dy  (積分範囲は y=n+1 から m+1)
より、任意の ε > 0 に対して
Σ[k=n+1,m] k / (k^2 + 1) > 1 + ε
となる m が存在する(つまり ∫y/(y^2+1) dy > 1 + ε となる m が存在)。この m について (*) より |fn(x) - f(x)| > (1 + ε) x^m であるから、
{ε/(1 + ε)}^(1/m) < x < 1  において  |fn(x) - f(x)| > (1 + ε) x^m > ε

m の存在をちゃんと確認したかったら、
∫y/(y^2+1) dy  (積分範囲は y=n+1 から m+1)
= (1/2) { log((m+1)^2 +1) - log((n+1)^2 + 1) } > 1 + ε
を解いて、
m > { ((n+1)^2 + 1) e^(2(1 + ε)) - 1 } ^ (1/2)
あまり簡単な式ではないけれど、確認すると確かにこんなところらしいです。

もっとスマートに示せるようにも思えます。考えてみてください。

元の課題は一様収束しないことを示すことですから、ε > 0 に対してどんなに大きな n を持ってきても |fn(x) - f(x)|<εとはならない x が定義域内に存在することを示せばよいですよね。それで、
lim[x→1] |fn(x) - f(x)| = ∞
なので、x = 1 近傍で |fn(x) - f(x)| > ε を示せるだろうと思った次第です。

で、考えてみたのですが、イマイチかな・・・。

任意の n と 0 < x < 1 に対して、m > n とすると、
|fn(x) - f(x)| = Σ[k=n+1,∞] k x^k / (k^2 + 1)
> Σ[k=n+1,m] k x^k / (k^2 + 1)
> x^m...続きを読む

Q文書作成ソフトと連動した類語辞典は?

文書作成(日本語)ソフトと連動した類語辞典(日本語)を探しています。

もしくは、文書作成ソフトが類語辞典の内容を取り込めるようなものがいいです。

たとえば、メモ帳でもWordでもよろしいが、「青空」という語句を別の言葉に
置き換えたいなと思ったときに、「青空」の文字をマウスで選択して、特定の
キーを押すと、類語の候補がズラッと表示されるようなものを探しています。

類語辞典を別に起動して、「青空」と打ち込むようなものは避けたいです。
当たり前のように存在すると思っていたら、見つからないので驚いています。

言語は日本語で、文書作成ソフトと連動しているもの(連動できるもの)を
探しているのですが、ご存知の方はおりませんでしょうか?

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

> たとえば、メモ帳でもWordでもよろしいが、「青空」という語句を別の言葉に
> 置き換えたいなと思ったときに、「青空」の文字をマウスで選択して、特定の
> キーを押すと、類語の候補がズラッと表示されるようなものを探しています。

ATOK用の類語辞書はあるようです。
下記URLのページをご参照下さい。

「角川類語新辞典 for ATOKの使い方」
http://support.justsystems.com/faq/1032/app/servlet/qadoc?QID=025546

「角川類語新辞典 for ATOK(NW2)」
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0-%E8%A7%92%E5%B7%9D%E9%A1%9E%E8%AA%9E%E6%96%B0%E8%BE%9E%E5%85%B8-for-ATOK-NW2/dp/B000LV61RY

Qn次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a

n次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a^1)^2+・・・+(a^n+1)^2=1}が可微分多様体の構造をもつことを示せ。

という問題で、証明の中でいくつかわからないところがあります。わからない部分を≪≫で書きます。

証明)Vi^+={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai<0}
   Vi^-={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai>0} (i=1,・・・,n+1) とおくと
≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫←この部分は当たり前に言えてしまうのでしょうか?
≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫←何故、同相であることを示すのでしょうか?

写像φi:Vi^+→E^n  φi^-1:E^n→Vi^+を実際に移していく。
この後は何とかわかるのですが最初の方の疑問をどなたかお願いします。

Aベストアンサー

≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫
開集合であることも、ほぼ自明ですよね。
本当に証明するなら、Vi^+(あるいはVi^-)の任意の点の近傍が、Vi^+(あるいはVi^-)に含まれることを言えばいいです。
また、
V0^+ ∪ V0^- ∪ … ∪Vn+1^+ ∪ Vn+1^- = S^
なんで、実際、覆ってますよね。

≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫
何故?って、これは多様体の定義そのものです。

多様体というのは、一言で言えば、つまり、
「局所的にユークリッド空間と(同相だと)みなせるような図形のこと」です。
とりあえず、Wikipediaのページの説明を見て、多様体とは何なのか直感的な理解をつかんでください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93


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