a(x+1)~n+1 + b(x+1)~n +…
=ax~n+1 + {a(n+1)+b}x~n +…


となるのはどうしてでしょうか?
どうしても分からなくて…。

考え方を教えて下さい!

A 回答 (2件)

2項定理(参考URL☆参照)の2項展開の公式で



(x+1)の(n+1)次の項に適用すると
a(x+1)~(n+1) =a (n+1)C0 x^(n+1) +a (n+1)C1 x^n +a (n+1)C2 x^(n-1) + … (1)

(x+1)のn次の項に適用すると
b(x+1)~n =b nC0 x^n +b nC1 x^(n-1) +b nC2 x^(n-2) + … (2)

…と(x+1)の各項に適用していきます。

(1)、(2)、…を加えxの降ベキの順に整理すると
a(x+1)~(n+1) +b(x+1)~n + …

=a (n+1)C0 x^(n+1) +a (n+1)C1 x^n +a (n+1)C2 x^(n-1) + …
+b nC0 x^n +b nC1 x^(n-1) +b nC2 x^(n-2) + …
+ …

=a (n+1)C0 x^(n+1) +{a (n+1)C1+b nC0}x^n + …

=a x^(n+1) +{a(n+1)+b}x^n + …

ここで2項係数は
 (n+1)C0=1, (n+1)C1=n+1, (n+1)C2=(n+1)n/2, …
 nC0=1, nC1=n, nC2=n(n-1)/2, …
 …
と導出できます。

参考URL☆
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suure …
でa→x,b→1とおく。


y→1とおく。

参考URL:http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427 …
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~ は累乗のつもりかな, プログラミング言語では、 ^ で表現されることがおおいのだけど?


とりあえず、n=2で考えてみる, かけ算も省略しないで * を用いる方が、フォントに限りのあるテキスト表示では見間違いがすくない。
a*(x+1)^3 + b*(x+1)^2 + c*(x+1)^1 + d
= a*( x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1) + b*(x^2 +2*x + 1) + c*(x+1) + d
= a*x^3 + (3*a + b) * x^2 + (3*a + 2*b + c)*x^1 + ...
3 を n+1 , 2 をn, 1 をn-1 と再度置き換え直すと、ご呈示の式に戻ります。
(x+1)^n を展開したときの、各x^(n-1), x^(n-2) の係数がどうなるかを、n=4以降も実際に展開してみると法則性が見えてくるでしょう。
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