「2次不等式 ax^2 + 5x + b >0  (a,bは実数の定数)の解が 1 <x <4 であるときの a,b を求めよ。」

という問題の解説に

「解が  1 <x <4  でx^2 の係数が1である2次不等式は

(x-1)(x-4)<0 とおける」 とあるのですが

なぜ 『x^2 の係数が1』が前提なのですか?
解が  1 <x <4  なら a(x-1)(x-4)<0
とおくべきなのでは??

A 回答 (7件)

可笑しな事を言ってる回答者がいるので、注意しておく。



>それと、1 <x <4  なら a(x-1)(x-4)<0という意見ですが、これは前提として置かない方が良いでしょう。何故なら、aのプラスマイナス次第で、大小の記号が逆転します。

それは違う。回答者気がついてないだけの事。
はじめから a>0 という条件をつければ良いだけ。

それで解いてみよう。

m>0として、不等式は、m*(x-1)(x-4)<0とおける。
これを展開すると、不等号の向きを同じにして、-mx^2+5mx-4m>0. この不等式と、ax^2 + 5x + b >0 が一致するから、各項の係数が比例する。
従って、(-m)/(a)=(5m)/(5)=(-4m)/(b)。 m>0から (a、b)=(-1、-4)。
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alice_44さん、よろしくおねがいします。



>解が  1 <x <4  なら a(x-1)(x-4)<0とおくべきなのでは??
不等号が逆になっていたのに気が付きませんでした。
「a(x-1)(x-4)>0とおくべきなのでは」と書けば 正しいことになりますね。

ご指摘ありがとうございます。

>解説に「解が  1 <x <4  でx^2 の係数が1である2次不等式は、(x-1)(x-4)<0
とおける」・・・ とあるのですが
この解説で質問者が混乱したのでは?


質問者はわかりましたか。
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この回答へのお礼

すみません。不等号の向きを逆にしてしまって・・
まさに、ご指摘のとおり 解説を読んで混乱してしまいました。

でも皆様のご親切なご回答により、理解できたと思います。
ありがとうございました!!

お礼日時:2011/04/19 22:57

> 解が 1 < x < 4 なら a(x-1)(x-4) < 0


> とおくべきなのでは??

だめです。
ax^2 + 5x + b > 0 と a(x-1)(x-4) < 0 が
同値になることは有り得ません。
括弧を展開して、見比べて御覧なさい。
(-a)(x-1)(x-4) < 0 と置くのなら ok です。
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可笑しな回答です。

注意して下さい。
 
a(x-1)(x-4)=ax^2-5ax+4aと ax^2 + 5x + b のそれぞれの係数を比較して
a=-1、b=-4が得られる(-5a=5,b=4a)   本当はここまででOK

※未知数をいきなり、正とか、負にするのは間違いですね。
a>0としておいて、解がー1になるなんて、あり得ませんよね。

ax^2-5ax+4a>0に a=-1、b=-4を代入して
-x^2+5x-4>0・・・ x^2-5x+4<0 よって 1<x<4 間違いない

>「解が 1 <x <4 でx^2 の係数が1である2次不等式は、(x-1)(x-4)<0 とおける」
 とあるのですが
       「x^2-5x+4<0」ここの事を言ったのかな?

>a(x-1)(x-4)<0とおくべきなのでは??

その考えは正しい。
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1が一番スタンダードで扱いやすいからです。


1 <x <4  でx^2 の係数が5である2次不等式は、
5(x-1)(x-4)<0とおけます。しかし、1でもいんじゃね??ってなるのです。
5で置けるなら、10でも20でも何でも置けます。
でも別に数が大きい意味はないし、意味がないのに必要なら1で良いでしょう。
×1なら、どうなっても計算に支障も無いし、面倒でもありませんから。

それと、1 <x <4  なら a(x-1)(x-4)<0という意見ですが、
これは前提として置かない方が良いでしょう。
何故なら、aのプラスマイナス次第で、大小の記号が逆転します。
まず、計算に影響をきたさない、係数1の(x-1)(x-4)<0とおいて、
求める2次式の係数がaだから、aを掛けて計算。
しかし、aのプラスマイナスで大小の記号が逆になるので、
条件を指定して、場合分け。

という感じで。
参考までに、
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問題文からa<0であることは明らかです。


よって、「x^2の係数が1」というのはaが1であると言っているのではなく、

「解が 1<x<4 で x^2 の係数が1である2次不等式は (x-1)(x-4)<0 とおける」

ということから、

(x-1)(x-4)<0 → x^2-5x+4<0 とし、

x^2-5x+4<0 と ax^2+5x+b>0 の係数を比較してa,bを求めようとしているのだと思います。

要するに、この解き方の場合a=1とするのが一番数式の処理が楽だということではないでしょうか。

最後の質問についてはほかの方が回答されているので割愛します。
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a(x-1)(x-4)<0とおいてしまうと


aが正か負かまたは0かによって不等号の向きが変わってしまいます。
そうするとa=0,a<0時は解が1<x<4にならなくなります。
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