通信工学のテキストにてどうしてもわからない計算式があるため質問させていただきます.
フーリエ級数の直流成分cを求める計算式で,
直流信号x(t)=1
c=((1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)x(t)dt)/((1/2pi)∫[-pi→pi]{x(t)}^2dt)
=((1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt)/((1/2pi)∫[-pi→pi]dt)=(1/2pi)∫[0→pi]dt=1/2
という式があるのですが,
まず,「((1/2pi)∫[-pi→pi]dt)」の部分は計算すると1になると思うのですが,
ここが1だとすると,
(1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt=(1/2pi)∫[0→pi]dtということになると思われますが,
f(x)が消え,区間が[-pi→pi]から[0→pi]となるのにどのような手法を用いているのか
わかりません.

この計算でもう3日くらい悩んでいます.
初歩的な質問かもしれませんが,よろしくお願いします.

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A 回答 (2件)

いや, その


f(t) = 1/2 + ...
というのは「フーリエ展開した」結果でしょ? そうじゃなくて, 「もともとの信号」でどうなのかを聞きたかったんだけどねぇ....

もし f(t) という矩形波が
・-π ≦ t < 0 で 0
・0 ≦ t < π で 1
のような形 (等号はてきとうにどっちかに入ってればいい) だったら,
(1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt=(1/2pi)∫[0→pi]dt
は当然だよね.
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この回答へのお礼

f(x)はテキストでは波形が図示されているだけで式が載っていなかったので
展開後の式を出させていただきました.

つまりは,
(1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt=(1/2pi)(∫[-pi→0]f(t)dt+∫[0→pi]f(t)dt)
=(1/2pi)(∫[-pi→0]0dt+∫[0→pi]1dt)=(1/2pi)∫[0→pi]dt
ということですね.

ありがとうございました.

お礼日時:2011/04/12 01:49

そもそも f(t) って何?

この回答への補足

すみません.説明が不足しておりました.
f(t)は周期2PIの周期信号(矩形波)で,
式で表現すると以下のようになります.
f(t)=1/2+(2/pi)sin(t)+(2/3pi)sin(3t)+(2/5pi)sin(5t)+(2/7pi)sin(7t)+・・・

宜しくお願いします.

補足日時:2011/04/12 00:23
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Qフーリエ級数とフーリエ変換

大学の試験で問題が発表されて、そのうちの一つに
「フーリエ変換とはどういうものか述べよ」というのがありました。
そこで疑問に思ったのですが、フーリエ級数とフーリエ変換の違いって何ですか?
自分なりに調べてみて、

・フーリエ級数は、任意の関数がある区間で、三角関数の足し合わせで表現したもの。
・フーリエ変換は、フーリエ級数展開の周期を無限大まで飛ばしたもの。こうすることで、元の関数との誤差が0になる。

これって正しいですか?(数学の試験ではないので、難しい数式とかで証明する必要はありません)

Aベストアンサー

似たような用語で「フーリエ展開」も有ります。
フーリエ変換とかフーリエ展開は、歪んだ波からフーリエ級数を求める事を言います。つまり、フーリエ変換やフーリエ展開は操作(動詞or動名詞)、フーリエ級数はその結果を言うわけです。

一方、工学の世界では、複雑な波を、周波数別に分離する手段としてフーリエを使います。どちらかと言うと位相は気にせずに周波数とその強さだけを気にします。
このときも、フーリエ変換とかフーリエ展開といっていると思います。
よく、アンプの特性グラフなどで、縦軸:振幅、横軸:周波数と言うのを見ます。
波の分析で「スペクトラムアナライザ」というのを使いますが、これなど、まさに周波数とその強さだけを、ブラウン管上に表示するものです。

Qフーリエ級数展開と複素フーリエ級数展開の証明

T=1,x(t){=1(-1/4<t<1/4)
     =0(-1/2<t<-1/4,1/4<t<1/2)
この周期関数をフーリエ級数展開すると
x1(t)=Σ_[=1,+∞]{4/nπsin(nπ/2)cos2nπt}

また、複素フーリエ級数展開すると
x2(t)=Σ_[n=-∞,+∞]2/nπsin(nπ/2)e^j2πnt

x1(t)=x2(t)が等しい事を証明する。

オイラーの公式を使って示せばいいと思うのですが、行き詰ってしまいなかなかうまく行きません。お手数ですが、出来れば証明をして頂けないでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

nの項と(-n)の項をペアにして考えます。これらに現れる指数関数をオイラーの公式でsine, cosineに書き換えてみますと、

e^(j2πnt) = cos(2πnt)+j sin(2πnt)
e^(j2π(-n)t) = cos(2πnt)-j sin(2πnt)

両者を合体させると、

e^(j2πnt)+e^(j2π(-n)t) = 2cos(2πnt)

Qシンク関数のフーリエ変換

現在独学でフーリエ変換を勉強しています。
矩形波のフーリエ変換はsinc関数になることは分かりました。
そこで、sinc関数を逆フーリエ変換すると矩形波となると思ったのですが、
sinc関数のフーリエ変換が矩形波であると書いてあるサイトがありました。

なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるのですか。
また、sinc関数をフーリエ変換する過程が分かりません。
どなたか分かる方がいましたら、途中式をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

フーリエ変換とフーリエ逆変換は双対関係にあるからです。
つまり時間t領域とf(ω=2πf)領域を入れ替えても数式的に
フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係が成り立つ関係にあると言うことです。

詳細は以下URLをご覧下さい。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/index.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/fourieralysis/Fourier/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

>なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるのですか。
>また、sinc関数をフーリエ変換する過程が分かりません。
定義式で
(t,f)→(f,-t)と形式的に置き換えてもフーリエ変換対が成り立つということです。
つまり、g(t)のフーリエ変換をG(f)、G(f)の逆変換をg(t)とすれば定義より
G(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(t)e^(-i2πft)dt
g(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]G(f)e^(i2πft)df
機械的に、(t,f)=(f,t)で置換し、式を上、下入れ替えると
g(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(t)e^(i2πft)dt
G(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞] g(f)e^(-i2πft)df
t→-tで置換すると
g(f)=√(1/2π)∫[∞,-∞] G(-t)e^(-i2πft)(-dt)
=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(-t)e^(-i2πft)dt
G(-t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(f)e^(i2πft)df
G(f)が偶関数であれば、G(-t)=G(t)なので
g(f)=√(1/2π)∫[-∞,∞] G(t)e^(-i2πft)dt
G(t)=√(1/2π)∫[-∞,∞]g(f)e^(i2πft)df
(証明終わり)
導出された関係は、G(t)のフーリエ変換がg(f),
g(f)の逆変換がG(t)であることを示しています。
sinc関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0
は偶関数なので、上の式の関係が成立します。
奇関数でも変換の符号が変わる位でスペクトルの絶対値が変わるわけではありません。
また、フーリエ変換対の定義式は、3通り程ありますが、途中の変換で定数倍の係数がかかりますが、波形やスペクトルの形状が変わるわけではありません。

フーリエ変換とフーリエ逆変換は双対関係にあるからです。
つまり時間t領域とf(ω=2πf)領域を入れ替えても数式的に
フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係が成り立つ関係にあると言うことです。

詳細は以下URLをご覧下さい。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/index.htm
http://www12.plala.or.jp/ksp/fourieralysis/Fourier/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B

>なぜ逆フーリエではなく、フーリエが矩形波となるので...続きを読む

Q無限級数をフーリエ級数で計算する

 1+ 1/(3^2)+ 1/(5^2)+ 1/(7^2)....=(π^2)/8 をフーリエ級数を使って求めようとしています。
 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/series/series.htm
 このサイトに解き方が書いてありますが、上の級数での場合のF(X)がわかりません。どなたか教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると 
>X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
>そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
  X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね?
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数ですよ。
そうではなくてX^2の展開はフーリエ級数の基本に忠実に計算して、
  X^2=1/(3)*π^2 +4(cos(X)/(1^2) +cos(2X)/(2^2) + cos(3X)/(3^2)....
です。これは参考urlにも書いてあります。
右辺にもXが含まれていて、関数X^2が右辺では三角関数(cos(nX))の和で表されていることがわかります。

ここまでは純粋にフーリエ級数の話で、ζ関数はまだ出てきていません。

ここで先ほど展開した式にX=πを代入するのがポイントなんですね。
普通に両辺にX=πを代入するだけです。
代入すると
  π^2 = 1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
になりますね。
このとき4で括られた括弧の中が偶然にもζ(2)と同じ形をしているんですね。
ですから右辺を書き換えて
  π^2 = 1/(3)*π^2 +4*ζ(2)
ここから、ζ(2)=...の形に式を整理すれば
  ξ(2)=(1/6)π^2
が示されます。

全てF(X)=X^2で良いうことですか?というのはよく意味がわからないんですが、
おそらくζ(4)の値を求めるときにはF(X)=X^4としてF(X)をフーリエ展開するんだと思いますよ。

>私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると 
>X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
>そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
>そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか?


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか?
  X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね?
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数...続きを読む

Q高速フーリエ変換とフーリエ変換の違い

高速フーリエ変換とフーリエ変換の違いについて教えて下さい。
高速フーリエ変換は何か近似を行うことによって、計算速度を速くしているのでしょうか?
もし、何かの極限で出てくる結果が違う場合などがあれば教えて下さい。

Aベストアンサー

>出てくる結果は全く同じだということなのでしょうか?
その通りです。

Qフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数について

[0,2]で定義されたf(x)=x のフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数を考える際、f(x)は奇関数なので、フーリエ正弦級数を考えるのは理解できるのですが、フーリエ余弦級数を考えることが理解できません。どなたかご教授願います。

Aベストアンサー

こんにちは。

[0,2]でf(x) = x は奇関数ではないと思いますが。。

もう一度落ち着いて考えることを薦めます。

Q逆フーリエ変換における位相の考え方

http://power.ee.sophia.ac.jp/~miyatake/lecture/m …

上記のHPを参考に逆フーリエ変換の勉強をしていました。

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もしくは、逆フーリエ変換では位相はあまり気にしなくても良いのでしょうか?

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よろしくお願いします。

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このフーリエF(ω)振幅はよく考えると分かるかと思いますが,複素数です.
複素数は一般的に位相を含んでいます.つまり
F(ω)=|F(ω)|exp(j*arg(F(ω)))
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お分かりになりましたでしょうか.

Q【至急】【フーリエ級数】画像の方形波のフーリエ級数の求め方を教えて下さい!

画像に示した振幅A、周期T、パルスτの方形波の周期関数 f(t)についてです。

(1) f(t)を偶関数と奇関数に分けて図示せよ
(2)偶関数部のフーリエ級数を求め、スペクトルを図示せよ
(3)奇関数部のフーリエ級数求め、スペクトルを図示せよ

という問題が出されました。
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ANo.1です・・!

ちと誤りがあり訂正・・! (ωT = 2πを抜かしてしまっていた!)

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Qアナログ信号とフーリエ変換

デジタル信号の周波数分析として離散フーリエ変換があります。そして、アナログ信号の周波数分析としてフーリエ変換と考えていました。またアナログ信号を離散フーリエ変換で考える方法もあり、アナログ信号をサンプリングすることで離散フーリエ変換で考えることが出来ると考えています。

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国語の話をしても建設的ではない

離散変換は
サンプリングしてのフーリエ変換なので折り返しがでる
また離散変換は
周期関数にたいするものなので周期関数で近似できる関数で無ければならない

つまり、
離散変換は
周期関数のサンプリング信号を対称にするものであり
周期関数で近時できないものやサンプリング時の折り返しが問題になる場合にはNGである

ただしサンプリングの問題はサンプリング周波数をあげれば解決できる場合もある

しかしいくら周期を長くしてもうまくない場合にはNG

Qフーリエ変換の問題(複素フーリエ級数)

フーリエ変換の問題(複素フーリエ級数)

次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を
f(X+2nL)=f(x)により
-∞<x<∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ

f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L)

この問題が解けないので、どなたか教えてほしいです。

f(x)=xのようなかんじだったらとけるのですが、この問題のような形式だと、詰まってしまいます・・・

Aベストアンサー

>f(x)=xのようなかんじだったらとけるのですが、
>この問題のような形式だと、詰まってしまいます・・・

同じだと思うんですけど。どこに詰まっているか補足できますか?


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