解き方を教えてください<m(__)m>

⊿ABCにおいて、sinA:sinB:sinC=7:8:13が成立しているときの次の問いに答えよ。
(1)3辺の長さの比AB:BC:CAを求めよ。
(2)⊿ABCの内角のうち、最も大きい角の値をもとめよ。
(3)⊿ABCの面積が56√3であるとき⊿ABCの内接円の半径をもとめよ。

この問題を解くには、なんの公式を覚えればよいのでしょうか?
助けて下さい。

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A 回答 (2件)

∠Aの対辺BCをa、∠Bの対辺CAをb、∠Cの対辺ABをcとすると、



(1)は正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
外接円の半径をRとすると
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

BC/sinA=CA/sinB=AB/sinC なので、
BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC となり
BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=7:8:13
AB:BC:CA=13:7:8
49 64 169

(2)は余弦定理
AB>CA>BCより、∠C>∠B>∠A
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
=(BC^2+CA^2-AB^2)/(2BC*CA)
=(49+64-169)/(2*7*8)
=-56/(2*7*8)
=-1/2
∠C=135°

(3)
AB:BC:CA=13:7:8なので、AB=13k、BC=7k、CA=8kとおく。

内接円の中心をO、半径をrとすると、
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
Oを頂点とする3つの三角形はすべて、高さはrなので、
△OAB=AB×r÷2
△OBC=BC×r÷2
△OCA=CA×r÷2
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
=(AB+BC+CA)×r÷2=14kr=56√3
kr=4√3
k=4√3/r

一方、
△ABC=BC×CA×sinC=BC×CA×sin135°=7k×8k/√2=56k^2/√2=56×(4√3/r)^2/√2=56×48/r^2/√2=56√3
48/√6=r^2
r^2=8√6
r=√(8√6)=2√(2√6)

私のやり方だとこんな変な値になってしまうのですが、問題は間違ってないんですよね?
△ABCの面積が56√3じゃなくて56√2なら、もっときれいな値になるんですけど・・・
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>この問題を解くには、なんの公式を覚えればよいのでしょうか?



(1),(2)は正弦定理
外接円の半径をRとするとき、
BC/sinA=CA/sinB=AB/sinC=2R

(3)は内接円の半径を使った面積の公式
内接円の半径をrとするとき、
面積=r(AB+BC+CA)/2
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>A=Arcsin(5t),B=Arcsin(6t),C=Arcsin(7t)
>ですので角度の比は
>Arcsin(5t) : Arcsin(6t) : Arcsin(7t)
>となります。

ここでtを出さないといけないことを忘れてました。
このまま計算すると、大変ややこしくなるので、私の#4の回答は無視してください。
#3さんのように、余弦定理を使う方が計算がすっきりします。

a=5k,b=6k,c=7k とすると
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc = 60k^2/84k^2 = 5/7
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca = 38k^2/70k^2 = 19/35
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となるので、
A:B:C = Arccos(5/7):Arccos(19/35):Arccos(1/5)
です。
Arccos は cosの逆関数です。

済みません。

>sinA =5t, sinB = 6t, sinc = 7t とおけて
>A=Arcsin(5t),B=Arcsin(6t),C=Arcsin(7t)
>ですので角度の比は
>Arcsin(5t) : Arcsin(6t) : Arcsin(7t)
>となります。

ここでtを出さないといけないことを忘れてました。
このまま計算すると、大変ややこしくなるので、私の#4の回答は無視してください。
#3さんのように、余弦定理を使う方が計算がすっきりします。

a=5k,b=6k,c=7k とすると
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc = 60k^2/84k^2 = 5/7
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