http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch0 …
を参考にしています。

2次曲線ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0において、

D=
|a h l|
|h b m|
|l m c|

とすると、

D=0なら、「1点」「平行でない2直線」「空集合か1直線か平行2直線」を表します。

つまり、D=0のとき、2次式
ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c
は因数分解できることになるのですが、その具体的な形を知りたいのです。

記述が大変であれば、どこかに具体的に書かれたサイトを教えていただけないでしょうか?

A 回答 (2件)

「空集合」は、


(px+qy+r)^2+s=0 (s>0)
でした。たしかに、複素数を使えば因数分解できますね。失礼しました。


平行でない2直線の場合の因数分解だけ計算してみました。

2直線を、
(x+py+q)(x+ry+s)=0
とすると、

p+r=2h/a   (1)
pr=b/a    (2)
q+s=2l/a   (3)
ps+qr=2m/a  (4)
qs=c/a    (5)

(1),(3)式より
r=2h/a-p
s=2l/a-q

これを(2),(4),(5)に代入すると、
p(2h-ap)=b    (6)
q(2l-aq)=c    (7)
p(2l-aq)+q(2h-ap)=2m  (8)

(6),(7)の2次方程式を解くと、
p=(h±√(h^2-ab))/a
q=(l±√(l^2-ac))/a

これを(8)式に代入して整理整理すると、D=0が成立しています。
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D=0だとしても、必ずしも因数分解できるとは限りません。



「1点」は、
(x-p)^2+(y-q)^2=0
「平行でない2直線」は、
(px+qy+r)(sx+ty+u)=0 (pt≠sq)
「空集合」は、
(x-p)^2+(y-q)^2+r=0 (r>0)
「1直線」は、
(px+qy+r)^2=0
「平行2直線」は、
(px+qy+r)(px+qy+s)=0 (r≠s)

この回答への補足

ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0が、
「1点」「空集合」を表すとき、
左辺の2次式は複素数を使って因数分解できますよ。

a,h,b,l,m,cを使った因数分解の形を具体的に知りたいのです。

補足日時:2011/04/13 21:24
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Q因数分解の解き方について

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たすき掛けをつかわない
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たしか、海外の学生の解き方で、
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分数などにはせず、
最後は見事に解答が出る方法です。

思い出せず、モヤモヤしています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>>>たしか、海外の学生の解き方で、まず数字をかけるやり方だったと思います。

ありましたね。

>>>思い出せず、モヤモヤしています。

私もサイトをお気に入りに入れていなかったので、もやもやしています。^^

たぶん、x^2 につく係数を整数の2乗にするんじゃなかったかと思います。

これでうまくいっているのかわかりませんが、3をかけて
9x^2 - 3×7x + 6 = (3x+a)(3x+b)
 = 9x^2 + 3(a+b)x + ab
としてみると、
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なので、
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わりと楽に行きました。
最後の仕上げに、3で割って元に戻しましょう。

ただし、これが思い出せないやり方と同じなのかわかりませんが・・・

Q数学の問題です。 問題5.の続きです http://oshiete.goo.ne.jp/qa/981

数学の問題です。
問題5.の続きです
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9816490.html

解答⑥〜⑧をご教示願います!

Aベストアンサー

6)5x10^(-5)
7) 同上
8) 5x10^(-4)・10^3=5x10^(-1)= 0.5 または、1/2

neary=5x10^(-4)ー2x10^(-7)

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今まで因数分解を勉強してきて
ma+mb=m(a+b)
x2乗+2ax+a2乗=(x+a)2乗
x2乗-a2乗=(x+a)(x-a)
mx2乗+m(a+b)x+mab=m(x+a)(x+b)


なんとか勉強してきました。


ただ
今回は、参考書を読んでも

5x2乗+6x+1 …の様な
x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の
「覚え方」が分かりません。


参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても

どーいう覚え方(解き方)をすればイイのか分かりません。


どーいう覚え方(解き方)をすればイイんでしょうか?


よろしくお願いします。


今まで因数分解を勉強してきて
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なんとか勉強してきました。


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よろしくお願いします。

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x2乗の前の数字が1でない場合の因数分解の解き方の
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参考書に書いてある答えの解説を読めば「…だから、こうなるのか」と分かっても

どーいう覚え方(解き方)をすればイイのか分かりません。


どーいう覚え...続きを読む

Aベストアンサー

数学Iの教科書には,公式として,
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)……(1)
と記述されていますが,この公式だけを見て理解できる人はいないと思います。
※これから使う「^」はべき乗を表します。例えば「5^2」は「5の二乗」を表します。

まず,質問者様が困っているという問題,5x^2+6x+1を考えてみましょう。

(1)の公式で,acに当たるものは,問題では「5」です。また,bdに当たるものは「1」です。従って,ac=5,bd=1をみたすa,b,c,dのうち,ad+bc=6になるものを見つければよいのです。
bd=1なので,b=1,d=1というのはすぐに定まります。
acの場合も同様にして,a=1,c=5 又は a=5,c=1に定まります。
ここで,ad+bc=6になるものは,a=1,b=1,c=5,d=1の場合です。
よって,上のa,b,c,dを(1)にあてはめると,
5x^2+6x+1=(x+1)(5x+1) と因数分解できました。
(x+1)(5x+1)を展開してみますと,
5x^2+x+5x+1=5x^2+6x+1となりますので,計算はあっています。

字面だとよく分からないと思いますので,この場合の因数分解で使う「たすきがけ」の方法を画像添付しておきますので,そちらをご参照ください。

数学Iの教科書には,公式として,
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)……(1)
と記述されていますが,この公式だけを見て理解できる人はいないと思います。
※これから使う「^」はべき乗を表します。例えば「5^2」は「5の二乗」を表します。

まず,質問者様が困っているという問題,5x^2+6x+1を考えてみましょう。

(1)の公式で,acに当たるものは,問題では「5」です。また,bdに当たるものは「1」です。従って,ac=5,bd=1をみたすa,b,c,dのうち,ad+bc=6になるものを見つければよいのです。
bd=1なので,...続きを読む

Q質問http://oshiete1.goo.ne.jp/qa57161

質問http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5716120.htmlの質問文後半部分の説明をお願いします。

-----引用-----
x=2-√3i を x~2+px+q=0 に代入し、
2p+q+1=0 と p+4=0 の連立方程式
-----引用終-----

x=2-√3i を x~2+px+q=0 に代入しても 
1-4√3i + (2-√3i)p + q =0 となるだけであり、
2p+q+1=0 と p+4=0 という二つの式が出てくる理由がわかりません。
 
おしえてください。
 ・・・ここで追記・・・
1-4√3i + (2-√3i)p + q =0 この式(あ)の両辺を二乗するともしかして
2p+q+1=0 と p+4=0 という二つの式が出てくるのでしょうか。

いちおう(あ)の式を二乗する計算を手書きでやってみましたが、途中でくじけました。
画像添付しますが、合っているかどうかも教えてください。

Aベストアンサー

1-4√3i + (2-√3i)p + q =0 
が成り立つためにはこれを実数部と虚数部に分けてa+biと変形したときにa=b=0である必要があります。

Q因数分解の解き方を教えてください!

中3の因数分解で解き方がわかりません。

次の問題の解き方を教えてください。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)
まずは3でくくって
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(2)
まずは6でくくって
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カッコの中を因数分解して
6(y+2)(y-2)

Qhttp://oshiete.goo.ne.jp/qa/1412311

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1412311.html
この問題なのですが、arcsin(1/3)などは関数電卓を使って解くのでしょうか?

Aベストアンサー

引用の問題は
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「arcsin(1/3)」そのものを求める必要のない問題ですね。
敢えて
arcsin(1/3)などを関数電卓で計算すれば
近似計算になり誤差が入ってきますので
本来の正しい答え「1/3」が得られなくなります。

Q因数分解 解き方

明日数学のテストがあります
いま中3です


因数分解で

x2-2x-2208

などの因数分解の解き方がわかりません

※x2はエックスの二乗です

どのように解けば正確で速いですか?

教えてください

Aベストアンサー

こういうときは2次方程式の解の公式を使いましょう。
x=1±√(1+2208)=1±√(2209)=1±47=48,-46

∴x^2-2x-2208=(x-48)(x+46)

2次方程式の解の公式を習っていなかったなら、
平方完成の方法を使いましょう。
x^2-2x-2208=(x-1)^2-1-2208=(x-1)^2-2209

2209=n*n(正整数の2乗)となるnはどうしたら探せるかな?
まず大雑把に
40^2=1600<2209<50^2=2500
41から49までで2乗の末尾が9になるのは
43と47
2つに絞れた
43*43=1849
47*47=2209
見つかった n*n=2209

(x-1)^2-2209=(x-1)^2-47^2
公式A^2-B^2=(A-B)(A+B)を使って
=((x-1)-47)((x-1)+47)
=(x-48)(x+46)
因数分解できた!

Qhttp://okwave.jp/qa/q5965948.html で

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5965948.html でした質問の回答に関する質問です
(私があまりに多くの質問をしてしまったので閉じることにしました)。

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

…これをANo.2さんが

x=rcosθ, y=rsinθ ( 0≦r≦b )
の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-r^2=t とおけば、

V=8∫[0,π/2]dθ∫[a^2,a^2-b^2]t^(1/2)(-1/2)dt ... [1]
=4∫[0,π/2]dθ∫[a^2-b^2,a^2]t^(1/2)dt     ... [2]
これを計算して、V= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3})

…と解いてくださったのですが、
積分の定義域 ∫[a^2,a^2-b^2] をどう求めたのかが分かりません。
a^2 と a^2-b^2 を求めた式を教えてください。

それと…あれ?たった今、気付いたのですが、
[1]では∫[a^2,a^2-b^2]になっているのですが、
[2]では∫[a^2-b^2,a^2]になっていますよね?
どちらが正しいのでしょうか?

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5965948.html でした質問の回答に関する質問です
(私があまりに多くの質問をしてしまったので閉じることにしました)。

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

…これをANo.2さんが

x=rcosθ, y=rsinθ ( 0≦r≦b )
の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-r^2=t と...続きを読む

Aベストアンサー

え?
「a^2-r^2=t とおいた」んだよね? で, r の範囲は 0~b だよね?
t の範囲はどうなる?
最後の段落は, 「どっちも正しい」が正解.

Q複雑な式の因数分解の解き方がわかりません。教えてください。-ac+c+

複雑な式の因数分解の解き方がわかりません。教えてください。-ac+c+a?-2a+1です。お願いします。

Aベストアンサー

式は、-ac+c+a^2-2a+1 ですよね?

ある文字について(この場合はc)整理します。
前の2項は-cでくくれ、あとの3項はまとめて因数分解できます。

-ac+c+a^2-2a+1
=-c(a-1)+(a-1)^2
((ここで、a-1が共通因数なのでそれでくくると、))
=(a-1)(-c+a-1)
=(a-1)(a-c-1)

2個目から3個目の式に変わることがわかりにくければ
2個目で a-1をAとでもおけば、
ーcA+A^2
=A(-c+A)
Aをa-1にもどして
=(a-1)(-c+a-1)
とできます。

Qhttp://mainichi.jp/life/edu/news/20

http://mainichi.jp/life/edu/news/20100320ddm090100115000c.html(毎日jp)にて三角形の内角の和の証明についての記述が御座いますが、三角形の内角を表す3つの弧(その三角形と三角形の内接円との接点に交わるもので)をそれぞれの3つの内角に対して反転させたものがその三角形の内接円と一致するという事で証明して頂く事は出来ないのでしょうか。

Aベストアンサー

#1です。

画像がなくなっちゃいましたね。w

で、先のお礼に書かれている件ですが、添付のリンク先に書かれていることは既に証明されていますよね。

そうではなくて、質問者さんが最初の質問で書いたことを証明しようとするのは無理だということ。

円は1周360°(2π)ですよね?
でも、先の図(無くなっちゃいましたが)で表すと、円を3個の部分に分けています。(接点は3個だから円弧も3個。)
これが重なることを利用して三角形の内角の和が180°を証明すると、円の1周が180°と言っているのと同じなんですが…。

一致することを利用するのではなく、内接円が作る円弧の円周角と内角の関係を利用して円の半分だから180°ということなら、証明できるかもしれませんが…。


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