数学II
対数の計算問題

log(10)√8 + log(10)27 - log(10)√1000 / log(10)1.8

2log(10)2 + log(10)3 / 1 + 1/2log(10)0.36 + 1/3log(10)8

この二問が分かりません。
底はすべてそろっているので、先にlog(10)でまとめ(真数を掛ける)た方がよいのか
それとも、それぞれの項で計算してからの方がいいのか・・・

計算の順序が分かりません。
教えてください。

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A 回答 (4件)

←A No.2 補足



3/2 は、
{ (3/2) Log2 + 3 Log3 - (3/2) }/ ( Log2 + 2 Log3 - 1 )
を約分したつもりですが、
括弧の付け方は、A No.3 にある通りかもしれません。
どうなんでしょうね。

「log(10) を約分」ってのは、もしかして、
{ log(10)100 }/{ log(10)10 }= 100 / 10
のように計算したいということですか?
それは流石に駄目です。この式の
左辺の分子分母の値を夫々考えてから
右辺と比べてご覧なさい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/20 19:07

分子と分母が何処までなのか分かるように多重の括弧で書くようにして下さい。


対数の底が10なので常用対数と断っておけば単にlogと書いても良いでしょう。

>log(10)√8 + log(10)27 - log(10)√1000 / log(10)1.8
(log√8 + log27 - log√1000) / log1.8
=((3/2)log2+3log3-(3/2)log10)/log(18/10)
これでいいですか?

そうなら、分子から(3/2)を括りだせば
=(3/2)(log2+2log3-log10)/log(18/10)
=(3/2)log(18/10)/log(18/10)
=3/2

>2log(10)2 + log(10)3 / 1 + 1/2log(10)0.36 + 1/3log(10)8
(2log2 + log3) / (1 + (1/2)log0.36 + (1/3)log8)
=(2log2 + log3) / (1 + (1/2)(log36-log100) + (1/3)log8)
これでいいですか?

そうなら
=(log4 + log3) / (1 + log6-log10 + log2)
=log12 / (log6 + log2)
=log12/log12
=1

括弧が何処につくかで、計算結果が変わりますので、もし括弧を付ける位置が異なる場合は補足に書いてください。
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理科の計算では、真数を掛けて対数をまとめた方が、電卓の操作が少なくなるけれど、


算数で「式を簡単にする」と言ったら、真数を素因数分解して、対数をバラしてゆく
ことを指す慣習になっています。

「log(10)」と書くのが面倒なので、単に「Log」と書くことにして、
例えば、ひとつめの式では、
Log√8 = Log(2^3)^(1/2) = Log2^(3/2) = (3/2) Log 2,
Log27 = Log3^3 = 3 Log3,
Log√1000 = Log(10^3)^(1/2) = Log10^(3/2) = (3/2) Log10 = 3/2,
Log1.8 = Log(18/10) = Log(2・3^2)/10 = Log 2 + 2 Log3 - Log10 = Log 2 + 2 Log3 - 1
より、
問題の式 = (3/2) Log 2 + 3 Log3 - (3/2) / (Log 2 + 2 Log3 - 1) = 3/2.

結果がこんなに簡単になる場合には、実は、対数をまとめてしまったほうが計算が簡単
なんですけどね。そこは、臨機応変というか…
いつでも使える計算の指針としては、バラしてゆくほうが、毎度の工夫は要りません。

ふたつめの式も、両方のやり方を比べてみてはどうですか?

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>問題の式 = (3/2) Log 2 + 3 Log3 - (3/2) / (Log 2 + 2 Log3 - 1) = 3/2.

ここまではできていたんですが、最後の3/2がわかりません。
どうやったら3/2になるんですか?
分母も分子も足し算だから、それぞれlog(10)だけ約分とかできないと思っていたんですが

どうなんでしょうか?

補足日時:2011/04/14 13:54
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>底はすべてそろっているので、先にlog(10)でまとめ(真数を掛ける)た方がよいのか


>それとも、それぞれの項で計算してからの方がいいのか・・・

答を言うのは簡単ですが、、、

とりあえず、どちらのやり方でも正しい答は出ます。
あとは、どちらのほうが効率的か。
どっちもやってみて、体で覚えるほうがいいと思いますよ。
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{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
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G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
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角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置くと、
余弦定理から、
a^2=b^2 +c^2 -2・b・c・cosθ
2^2=(√3 -1)^2 +(√2)^2 -2(√3 -1)・√2・cosθ
4=4-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
0=-2√3 +2 -2√2(√3 -1)cosθ
2√2(√3 -1)cosθ =-2(√3 -1)
√2cosθ =-1
cosθ =-1/√2

三角形の内角の和は180度なので、0<θ<π だから
θ =3π/4
が解答となります。

角度θを求めるだけなので、k=1倍として考えてもよいと思います。

(a+b)=1+√3
(b+c)=√2+√3 -1
(c+a)=2+√2
とします。すると、

a+b+c=(2a+2b+2c)/2
={(a+b)+(b+c)+(c+a)}/2
=(1+√3 +√2+√3 -1 +2+√2)/2
=(2 +2√3 +2√2)/2
=1 +√3 +√2
であることがわかります。

したがって、
a=(a+b+c)-(b+c)
=1 +√3 +√2 -(√2+√3 -1)
=2
b=(a+b+c)-(c+a)
=1 +√3 +√2 -(2+√2)
=√3 -1
c=(a+b+c)-(a+b)
=1 +√3 +√2 -(1+√3)
=√2

辺の長さは 2>√2>√3 -1 より a>c>b
よって、aの対角を求めればよいことがわかります。

aの対角をθと置く...続きを読む

Q素数の素因数分解

素数(例えば17)の素因数分解について
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Aベストアンサー

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Q√1+√2+√3+…+√nの漸近展開

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラフではさまれた面積と考えることで、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+…
となることはわかるのですが、
√1+√2+√3+…+√n
=(2/3)n√n+α√n+…
とさらに精密にしたいとき、αがどういった定数になるのかわかりません。

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
によると
1+1/2+1/3+…+1/n
=γ+log(n)+(1/2n)-Σ[k=2,∞](k-1)!C(k)/n(n+1)…(n+k-1)
という漸近展開があるそうです。漸近展開とは、簡単に言うと、nが十分に大きい場合の近似式です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
によると
n!
=√(2πn)*(n/e)^n*e^λ(n)
という漸近展開があるそうです。

ところで、
√1+√2+√3+…+√n
などの漸近展開をご存知の方がいらっしゃれば教えてください。

y=√xのグラフとy=√(x+1)のグラ...続きを読む

Aベストアンサー

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k/n)) = (2/3) + O(1/n^2)
になります. ここで同じように両辺に n^(3/2) を掛けて左辺を整理すると
√1 + √2 + … + √(n-1) + (1/2)√n = (2/3)n^(3/2) + O(n^(-1/2))
となり, 両辺に (1/2)√n を加えることで
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2) + (1/2)n^(1/2)
まで持っていけます.
ああ, たぶん a が正なら自然数かどうかに関係なく
Σk^a = [1/(a+1)]n^(a+1) + (1/2)n^a + …
となると思いますよ.

ちなみに今の場合は定積分からも「α=1/2」が想像できます.
まず
∫[0→1] √x dx = 2/3
の左辺を矩形公式で和に変換すると
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3
となり, 両辺に n^(3/2) を掛けると
√1+√2+√3+…+√n = (2/3)n^(3/2)
になります. ただし矩形公式では区間の幅に比例する誤差があるので, 実際には
(1/n)Σ(k=1→n) √(k/n) = 2/3 + O(1/n)
です (O(1/n) は「1/n に比例する項」というくらいの意味).
ここで, 左辺の積分を今度は台形公式で和に変換すると精度が上がって
(1/n)Σ(k=1→n) (1/2)(√[(k-1)/n]+√(k...続きを読む

Qすばやく素因数分解する方法は?

「暗号解読」(サイモン・シン(著)青木薫(訳) 新潮社)という本を読んで、急に素数のことに関心を持ちました。

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できれば、計算機科学における現在、最速の素因数分解の方法(アルゴリズム)を知りたいです。

Aベストアンサー

確か、いまだはっきりした公式はできていないですよね?。
素因数分解。
いまあるアルゴリズムは、結局しらみつぶしに探し出す方法
でしかないと聞いたことがあります。

ちなみに、10進数の2000桁の素数を全て見つけ出そうとした場合、
全宇宙の全ての物質を現代の最速コンピュータの生産に
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Q1/(a+√b+√c+√d+√e)の有理化

分母の有理化について考えています。文字はすべて自然数とします。Zは一般の整数とします。

1/(a+√b)
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1/(a+√b+√c)
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1/(a+√b+√c+√d)
は分母分子にa+√b-√c-√dをかけると、分母は「Z+Z√b+Z√cd」型となり、以前に帰着します。

1/(a+√b+√c+√d+√e)
はどのようにすれば有理化できるのでしょうか?
可能でありましたら、より一般の場合も教えていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

解説しているサイトがありました。

http://blog.livedoor.jp/seven_triton/

上記サイト内の √素数の問題 というとこです。

Q素因数分解について

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そもそも、素因数分解のルールが理解出来ていません。
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因数分解は方程式なので、取っ付きにくいイメージがあります。

Aベストアンサー

素因数分解って、たとえば
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ルートをはずすには数字の二乗であればいいわけだから、二乗の数を考えてみる。
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まず、真っ先に思いつくのは10000=100^2
(ここで、100を1000にすると1000^2=1000000となって計算できなくなる)
なので
4840000=484×100^2
今度は484に注目。
484は4(2^2)で割り切れるから
4840000=484×100^2
       =121×2^2×100^2
121は11^2だから

4840000=11^2×2^2×100^2
となるので

√4840000=√(11^2×2^2×100^2)
        =√(11×2×100)^2
        =11×2×100
        =2200

となる。

※a^2×b^2=(a×b)^2を利用しただけ。

Q√(1+√(1+√(1+√(1+...

数列{a_n}をa_(n+1)=√(1+(a_n)) として、初項1とするとき、lim{n→∞}a_nは収束するかという問題なんですが、a_n<a_(n+1)(単調増加)というのはわかるのですが、有界であることの説明がまったく思いつかず、、、
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ヒントでもいいのでよろしくお願いします

Aベストアンサー

ちゃんとした証明ではなく概略ですが。

a_(n+1)=√(1+(a_n))
a_(n+1)^2 = 1+(a_n)
a_(n+1)^2 - (a_n) = 1
a_(n+1)^2 - a_(n+1) + a_(n+1) - a_n = 1
今、a_n>1 は明らかだから a_(n+1)^2 - a_(n+1) > 0
単調増加より a_(n+1) - a_n > 0
よって、
a_n^2 - a_n < 1
は明らかだから、上限がある。
単調増加で上限があるため、収束する。


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