今大学で建築を専攻しているんですが、微分方程式の授業があって、どうも建築との関係があんまり分かんなくて、受けて意味あんのかな?って思っています。
実際、微分方程式は建築に関係あるんですか?

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A 回答 (3件)

強度計算をするのは材料力学に近いので


微積分は必要ですが微分方程式は不要のように思います.

じゃ建築に微分方程式は不要かと言うとその答えは必要です.
実際に必要なのは強度計算だけではなく,風や地震による
振動解析も必要になります.振動解析を理解するには
微分方程式がどういう物かを知っておく必要があります.

実際にはシミュレータが計算しますが,計算機は与えた条件が
物理的に成立するかは加味しませんので,シミュレーション結果
があっているかどうかは,簡単な手計算とだいたいあっているか
だったりします.その際に微分方程式の計算が必要かは分かりませんが
考え方は必要になると思います.

(もしかしたら,地盤に対する強さのような部分にも必要かもしれません.)
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構造モデルを作成して強度計算をする際に、微分方程式が解けないと、お話になりません。



今後、建築の授業で「以下の構造物の強度計算をせよ」って課題が出た瞬間、お手上げになりますよ。
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見た目のデザイン画を描くだけで、


強度計算などをしないのであれば、関係ない。
貴方にとっては、意味があるのか、ないのか…
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Q微分方程式の解き方

微分方程式の解き方
電気回路の問題ですが、微分方程式を解くところでつまづいてしまいました。
V=Ldi(t)/dt+Ri
です。t=0の時、i(0)=V/Rです。

Aベストアンサー

特性方程式を持ち出すまでもない。
簡単なことは、簡単に済ませよう。
微分方程式そのものを勉強している
のでもない様子だし。

V = L(di/dt) + Ri.
両辺に exp( (R/L)t ) を掛けて、
(V/L) exp( (R/L)t ) = (di/dt) exp( (R/L)t ) + i (R/L) exp( (R/L)t ).
両辺を dt で 0 から t まで積分すれば、
(V/R) exp( (R/L)t ) - (V/R) exp(0) = i exp( (R/L)t ) - i(0) exp(0).
右辺の積分には、積の微分公式を逆用した。
整理して、i = の形に解けば、
i = V/R.

i は定数関数になるが、
そのことが物理学的に何を意味するかは
数学の話題ではない。

Q偏微分方程式と常微分方程式

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ。


困っているのは(2)の問題です。

以下のようなwebサイトを見つけました。

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/partial/

これに沿って問題を解いていったとき、一般解をどのようにするべきか迷いが生じました。今回の問題では初期条件や境界条件はないため、一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?

後もう1点、もしよければ、楕円型の微分方程式として有名な物理現象、あるいは式を教えていただけないでしょうか?

ヨロシクお願いしますm(_ _)m

特に(2)の問題に関する質問、ヨロシクお願いします。。。

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ...続きを読む

Aベストアンサー

>一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?
境界条件が何も与えられてないのであれば、そうですね。
正負は同じ形になるので場合わけしないでもいいですが、少なくともゼロは分けないとだめですね。

楕円型の代表例は、Poisson方程式です。非圧縮性流体の定常流の圧力分布とか、空間電荷が与えられたときの電位とか、いろんなところででてきます。あるいは、斉次なポアソン方程式(ラプラス方程式)の解は調和関数といいますが、正則な複素関数とか。

Q微分方程式の解き方が分からず、困っています。

 現在、試験に向けて微分方程式の勉強をしているのですが、下記の問題の解き方が分かりません。
 教科書を参考に(1)は変数分離系、(2)は同次形、(3)は線形で解こうとしましたが、どの問題も積分するところで複雑な式になってしまい、解けれません。
 分かる問題だけでも良いのでアドバイス、解き方を教えてください。よろしくお願いします。
   
(1)次の微分方程式の一般解を求めよ
dy/dx=y^2+1

(2)次の微分方程式の一般解を求めよ
y'=(y/x)(log(y/x)+1)

(3)次の微分方程式の解でt=0のときx=1の条件を満たすものを求めよ
x'cost+xsint=1

Aベストアンサー

(1) は、変数分離で ok です。
∫dy/(y^2+1) = ∫dx となるのですが、
貴方が積分できないのは、左辺ですか? 右辺ですか?
左辺で困っているのなら、y = tan θ なんかどうでしょう。

(2) も、同次形で ok です。
r = y/x と置くと、dy = x dr + r dx ですから、
方程式は、∫dr/(r log r) = ∫dx/x と変形できます。
ここでも、積分できないのは、左辺ですか? 右辺ですか?
左辺ならば、z = log r がお奨めです。
結局、∫dz/z = ∫dx/x になります。

(3) は、線型微分方程式の一般論を持ち出すよりも、
完全微分形を使ったほうが簡単でしょう。
両辺を f(t) 倍して、左辺が (dx/dt) g(t) + x dg(t)/dt
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g : dg/dt = cos t : sin t となる g を探す。
それには、(dg/dt)/g = (sin t)/(cos t) を解けばいい。
g の方程式は変数分離形なので、簡単に解けて、
g = (定数)/(cos t) です。これを使って、方程式を
(dx/dt)/(cos t) + x (sin t)/(cos t)^2 = 1/(cos t)^2
と変形する。左辺は完全微分形になっていますから、
あとは、右辺の ∫dt/(cos t)^2 ができれば ok ですね。

(1) は、変数分離で ok です。
∫dy/(y^2+1) = ∫dx となるのですが、
貴方が積分できないのは、左辺ですか? 右辺ですか?
左辺で困っているのなら、y = tan θ なんかどうでしょう。

(2) も、同次形で ok です。
r = y/x と置くと、dy = x dr + r dx ですから、
方程式は、∫dr/(r log r) = ∫dx/x と変形できます。
ここでも、積分できないのは、左辺ですか? 右辺ですか?
左辺ならば、z = log r がお奨めです。
結局、∫dz/z = ∫dx/x になります。

(3) は、線型微分方程式の一般論を持ち出すよりも、...続きを読む

Q線形2階微分方程式と非線形2階微分方程式の違いは?

数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
   y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
   y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。

Q常微分方程式の解き方が知りたいです(>_<)

【至急】この微分方程式の解き方が知りたいです。私としてはx+y=uと置くのかな?と思ったのですが...わかる方お願いします(>_<)

Aベストアンサー

#1の補足に対して
最後に両辺を2倍して2C_1=Cとでも置くとより見やすいでしょう。

この答えが正しいかは両辺をxで微分してみるとよいでしょう。
私が確認したところでは元の微分方程式が得られました。

Q微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式

微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式 dF/dt=p+(q-p)F-qF^2 を初期条件F(0)=0で解くと、F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}]となるようですが、その導出過程がよく分かりません。どなたか回答いただければ、幸いです。

Aベストアンサー

dF/dt=p+(q-p)F-qF^2
を変形すると,

dF/dt=(1-F)(p+qF)
dF/[(1-F)(p+qF)]=dt

1/[(1-F)(p+qF)] を部分分数に変形すると,

1/[(1-F)(p+qF)] = (1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]

これを微分方程式に戻す.

(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=dt

積分定数を C として,積分すると

∫(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・∫[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・[∫1/(1-F) dF+ ∫q/(p+qF)dF]=t+C
(1/(p+q))・[-ln(1-F) + ln(p+qF)]=t+C     ln( ) は自然対数
(1/(p+q))・ln{(p+qF)/(1-F)}=t+C
ln{(p+qF)/(1-F)}=(p+q)(t+C)

(p+qF)/(1-F)=exp[(p+q)(t+C)]

この式が一般解です.初期条件 F(0)=0 により

(p+q・0)/(1-0)=exp[(p+q)(0+C)]
p=exp[(p+q)C]
ln(p)=(p+q)C

C=[ln(p)]/(p+q)

この積分定数 C を微分方程式に入れて式を整理する.

p+qF=(1-F)exp[(p+q)(t+[ln(p)]/(p+q))]

p+qF=(1-F)exp[(p+q)t+ln(p)]
p+qF=(1-F)exp[(p+q)t]・exp[ln(p)]
p+qF=p(1-F)exp[(p+q)t]
p+qF=p・exp[(p+q)t]-pF・exp[(p+q)t]
qF+pF・exp[(p+q)t]=p・exp[(p+q)t]-p
F・{q+p・exp[(p+q)t]}=p{exp[(p+q)t]-1}

F=p{exp[(p+q)t]-1}/{q+p・exp[(p+q)t]}

この式が解です.質問に記述されていた式:

F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}]

の右辺の分数の分子分母に p・exp[(p+q)t] を乗ずると,

F=p{exp[(p+q)t]-1}/{q+p・exp[(p+q)t]}
になります.

dF/dt=p+(q-p)F-qF^2
を変形すると,

dF/dt=(1-F)(p+qF)
dF/[(1-F)(p+qF)]=dt

1/[(1-F)(p+qF)] を部分分数に変形すると,

1/[(1-F)(p+qF)] = (1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]

これを微分方程式に戻す.

(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=dt

積分定数を C として,積分すると

∫(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・∫[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・[∫1/(1-F) dF+ ∫q/(p+qF)dF]=t+C
(1/(p+q))・[-ln(1-F) + ln(p+qF)]=t+C   ...続きを読む

Q一次形応答の微分方程式の解き方を教えてください

以下のような問題の微分方程式の解き方がわかりません。

一次形の応答を示す計測器のガラス温度計を考える。
今、温度xの液体中にガラス製の温度計を浸したとき
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このとき、温度計の指示値yの時間tに対する変化の割合、すなわちdy/dtが
液体の温度xと温度計の温度yとの差に比例するならば

τ*dy/dt + y = x  (τは時定数)

が成立する。

これをとくと

y = x{1-exp(-t/τ)}

となる。

この微分方程式の解き方がわかりません。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

τ≠0とします.
初期条件がありませんが,解がy(t)=x(1-e^{-t/τ})となるなら,y(0)=0ですがそれでよいのですか.明示されていませんので初期条件未定のまま解きます.

いわゆる変数分離で解きます.

τdy/dt+y=x τdy/dt=-(y-x) dy/(y-x)=(1/τ)dt ∴-∫dy/(y-x)=(1/τ)∫dt -log|y-x|=(1/τ)t+C (Cは積分定数)

log|y-x|=-t/τ+C |y-x|=e^{-t/τ+C }=e^Ce^{-t/τ } y-x=±e^Ce^{-t/τ }

ここでA=±e^Cとおくと,y-x=Ae^{-t/τ}すなわち

y(t)=x+Ae^{-t/τ}

A=0としたときy(t)=xとなりますが明らかにこれも解です.だからAは任意定数としてよいです.

t=0とするとy(0)=x+A,A=y(0)-xこうして

y(t)=x+{y(0)-x}e^{-t/τ}

となります.y(0)=0ならy(t)=x(1-e^{-t/τ})となります.

Q2009年横浜市立大学入試、微分方程式と複比の奇妙な関係

2009年 横浜市立大学 前期 数学入試問題 第四問
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/mon4.html

φ'(x)=a(x)+b(x)φ(x)+c(x)φ(x)^2
の異なる解をφ_1,φ_2,φ_3とすると、
複比(φ,φ_1,φ_2,φ_3)=一定
となるそうなのですが、その背景がまったくわかりませんので教えていただけないでしょうか?

微分方程式は解析の分野の用語で、複比は射影幾何の不変量で、まったく関係はなさそうなのですが、このような奇妙な関係の理由はなんなのでしょうか?

入試の(3)の答えは、元の微分方程式の一般解なのでしょうか?

Aベストアンサー

リンク先のサイトが開けないのですが…
質問文を見るかぎり、その話は
少し変です。

三個の解の複比が一定(xに依らない)
であれば、その三個は、
定係数で一次従属になります。
しかし、
Φ = p Φ_1 + q Φ_2 (p,qは定数)
を、もとの方程式に代入してみると、
そのような p,q は限られている
ことが判ります。

この方程式の解は、有限個
なのでしょうか?

Q微分方程式の解き方 http://i.imgur.com/HRv4Tfk.jpg 自分の解き方はどこ

微分方程式の解き方
http://i.imgur.com/HRv4Tfk.jpg
自分の解き方はどこから間違えているのですか?
ご指導の程よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

x = m/k*log(t+m/(k*v0)) - m/k*log(m/(k*v0)) + x0
 = m/k{ log(t+m/(k*v0)) - log(m/(k*v0)) } + x0
 = m/k log{(t+m/(k*v0))/(m/(k*v0)) } + x0
 = m/k log(1 + k/m*v0*t) + x0
の間違いです。

Q大学の微分方程式の問題なんですが、

大学の微分方程式の問題なんですが、

y*d二乗y/dx二乗+(dy/dx)二乗+1=0

解るかたいたら教えてください!何度やってもとけません!

解答は y二乗+(x+c)二乗=d二乗 (c、dは定数) です。

Aベストアンサー

(y^2)'=2yy'
(yy')'=yy"+(y')^2
ということに着目して積分するだけです。

yy"+(y')^2 +1=0

両辺積分して
yy' +x+c=0 ← cは積分定数

2倍して
2yy'+2(x+c)=0

両辺積分して
y^2+(x+c)^2=d^2 ← 左辺≧0のため積分定数をd^2とおく。


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