log(底2)x+log(底x)4のx>1における最小値がわかりません。

A 回答 (2件)

A=log[2]x+log[x]4=log[2]x+2log[x]2


=log[2]x+2/log[2]x(∵底の変換公式適用)

t=log[2]xとおくとx>1なので t>0

A=t+2/t≧2√[t(2/t)]=2√2(∵相加平均と相乗平均の関係)

等号はt=2/t,すなわち t=√2(x=2^√2)のとき
Aは最小値 2√2 をとる。
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最大値や最小値を求めるとき、どんな方法を使っても、それを与える(与えられた条件を満たす)xの値の存在を確認しなければならない。


この事は、絶対に憶えておかねばならない事。

相加平均・相乗平均に気がつかなくても、極めて初歩的な“判別式”という手がある。
判別式を馬鹿にしてはいけない。時として、大きな力になる。
[2]は底が2の事とする。

log[2]x=tとすると、x>1より t>0 ‥‥(1) 
log(底2)x+log(底x)4において、k=t+2/t として、分母を払うと、t^2-kt+2=0 ‥‥(2) より、これが実数解を持つから 判別式≧0。 k>0より k≧2√2.
k=2√2の時、(2)より t=√2=log[2]x これは(1)を満たすから、求めるものである。

以上より、最小値は 2√2 で、それを与えるxの値は 2^√2.
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