正接の3倍角の公式と正弦・余弦それぞれ4倍角から6倍角の公式を与えられ,
それを証明せよという問題が出ました.
正弦の4倍角の公式は解けたのですが,それ以外の証明ができません.

それぞれの加法定理・2倍角の公式を用いて証明するにはどうすればよいでしょうか
ご教授お願いします.

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A 回答 (2件)

tan(3x) の式を作るには、


tan(x+2x) を tan の加法公式で展開して、
そこに tan(2x) が現れますから、
それを倍角公式で展開すればよいです。

同様にすれば、sin(3x) や cos(3x) も作れますね。
そこに x = 2y を代入して、
それに sin と cos の倍角公式を使えば、
6 倍角公式も作れます。

5 倍角なら、sin(2x+3x) と cos(2x+3x) を
加法公式で展開すればよいです。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました.
無事に証明をすることができました.

お礼日時:2011/04/17 19:17

ふつうに計算ができれば「証明ができません」ということはないはず....


地道に加法定理を繰り返し適用するだけ.
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あまり数学の問題とは関係ないでしょうが、名前もきっと意味があるのでしょうか?

どなたか分かる方おしえてください。
※「sinは対辺/斜辺を意味する…とう意味です」という回答を期待してるのではないです。文章力がなくて申し訳ありません。

Aベストアンサー

歴史的には,既にリンクされているwikipediaの記述で
ほぼ正しいのですが,ealingさんの質問に答え切れてない
部分もありますので,補足しておきたいと思います。

三角比・三角関数は,実用上の理由から弦の半分の長さに
ついての数表(いわゆる三角関数表)を作ることに始まります。
今流にいえば,半径1,中心角 2θ の扇形の弦の長さが 2*sinθ
であり,この半分の長さ(sinθ)を求めようとしたわけです。

このsin(e)にあたる語を,最初は「弦」を意味するjivaと呼んで
いたのですが,アラビアに伝わるときに「入り江」を意味する
jaibに誤訳されてしまいます。(一説によると,アラビア語で
はjivaもjaibも同じ表記になるからだと言われています。)
ヨーロッパの暗黒時代にこうしてアラビアで三角法が継承され,
再びヨーロッパに戻ってきたとき,jaibはラテン語の
sinus rectus(湾を短絡する長さ?)に訳されます。
この時点では「湾,入り江」の意味だったsin(e)が,日本語に
訳すとき「正弦」と意訳され,偶然にも元来のjivaの直訳に
なったわけです。
元の意味を知らないと変な言葉に感じられますが,
(数学Cで習う「行列」と並んで)名訳とされています。

以上のいきさつでもわかるように,「正」というのは「正しい」と
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の意味です。「余弦」の「余」は「補足的な,補助的な」の意味で,
(学校で習ったとおり)「余角に対する正弦」という意味ですね。
「正接(tangent)」については,円の接線方向の長さが由来です。
「正(接点で垂直であること)」と「接」は重複していますが,
語呂を合わせるためだと考えられています。

> あまり数学の問題とは関係ないでしょうが、
> 名前もきっと意味があるのでしょうか?

数学は生活と密接に関わり,生活実感を大切にする科目なので,
学習の意義を理解することは大事だと思います。

ちなみに,#2でリンクされたページにある語源の説明は
サイト管理者の空想を述べたもので,事実とは異なります。

歴史的には,既にリンクされているwikipediaの記述で
ほぼ正しいのですが,ealingさんの質問に答え切れてない
部分もありますので,補足しておきたいと思います。

三角比・三角関数は,実用上の理由から弦の半分の長さに
ついての数表(いわゆる三角関数表)を作ることに始まります。
今流にいえば,半径1,中心角 2θ の扇形の弦の長さが 2*sinθ
であり,この半分の長さ(sinθ)を求めようとしたわけです。

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準備としてX軸、Y軸を書いて、座標系の原点を中心とした半径1の単位円を描きます。

まずはθ=0のときの sinθ、cosθ、tanθを考えましょう。円の中心から角度θ(=0)で円周上まで線分を引きます。このとき、線分の円周上の端のx座標がcosθ、y座標がsinθですから、x=cosθ=1, y=sinθ=0 ですね。tanθ=sinθ/cosθですから、tanθ = 0/1 = 0です。

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http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa1html/node6.html

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 なお,このページは殆ど利用しませんが,この方の「化学」のページは良く利用いたします。「化学」のページでは,ユニークで解りやすい説明がされています。

参考URL:http://shigihara.hoops.ne.jp/sin.htm


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