∫cos^2xsin^3xdxを求めよ。

という問題ですが、
解答には、
(与式)=∫cos^2x(1-cos^2x)sinxdx
=∫ (cos^4-cos^2)(cosx)'dx
=cos^5x/5-cos^3x/3+C

とありました。
最後の変形がよく分からないのですが、
これは部分積分ではないのですか?
数学は苦手なので、できれば分かりやすい回答を
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

部分積分でやる方法が有名で、そちらは


被積分関数の sin と cos の乗数が
どんな自然数のときも使えます。

質問の例のように、一方が偶数乗で他方が奇数乗
の場合に限っては、sin と cos のうち
偶数乗のほうを u = cos x と置いて
置換積分をするのが簡単です。
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この回答へのお礼

>質問の例のように、一方が偶数乗で他方が奇数乗
の場合に限っては、sin と cos のうち
偶数乗のほうを u = cos x と置いて
置換積分をするのが簡単です。

なるほど!
置換積分が苦手だったので、偶数乗のほうを置き換えると
簡単になるとは知りませんでした…

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/25 18:12

(与式)=∫cos^2x(1-cos^2x)sinxdx



カッコの式を展開すると、

=∫(cos^2x-cos^4x)sinxdx

部分積分で解けなかったので違う方法で解きます。いったん、式を展開すると

=∫cos^2xsinxdx-∫cos^4xsinxdx

ここでcosx=tとおいて、

  t をxで微分すれば、

-sinxdx=dt

    sinxdx=-dt

よって、
      ∫t^2(-dt)-∫t^4(-dt)

=-∫t^2dt+∫t^4dt

=-t^3/3+t^5/5+C

=-cos^3x/3+cos^5x/5+C

=cos^5x/5-cos^3x/3+C

で解けました。他の方で部分積分で解ける人がいれば教えてください。
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Possible intermediate steps is as follows:



integral cos^2(x) sin^3(x) dx
For the integrand sin^3(x) cos^2(x), use the trigonometric identity sin^2(x) = 1-cos^2(x):
= integral sin(x) cos^2(x) (1-cos^2(x)) dx
For the integrand sin(x) cos^2(x) (1-cos^2(x)), substitute u = cos(x) and du = -sin(x) dx:
= - integral u^2 (1-u^2) du
For the integrand u^2 (1-u^2), do long division:
= - integral (u^2-u^4) du
Integrate the sum term by term and factor out constants:
= integral u^4 du- integral u^2 du
The integral of u^2 is u^3/3:
= integral u^4 du-u^3/3
The integral of u^4 is u^5/5:
= u^5/5-u^3/3+constant
Substitute back for u = cos(x):
= (cos^5(x))/5-(cos^3(x))/3+constant
Which is equal to:
= 1/30 cos^3(x) (3 cos(2 x)-7)+constant
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