底面 半径 600
高さ     300の円錐形です。
底面の中心から水平方向に150離れた線で、高さ方向に垂直に切り取ります。
切り取られた立体の側表面積を教えてください。
できるだけ簡潔に、数式をつけていただきたいと思います。
よろしくお願いします。

「切り取られた円錐形の表面積」の質問画像

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A 回答 (2件)

A#1の補足の質問の回答



>a=150とおくと

切り取り位置をaとおいて

>円錐の底面半径=4a,円錐の高さ=2a

円錐の底面半径=b,円錐の高さ=h
とおくと

>切り取られた立体の側表面積:
これは、A#1のSの計算を同じように行うと

S={(bπ/2) - (a/b)√(b^2-a^2) - b*sin^-1(a/b)} √(h^2+b^2) …(☆)
ただし、0≦a<b, h>0。

となります。
後は、a,b,hにどんな半端な値でも(☆)の式に代入して関数電卓(Windows内蔵電卓やGoogleや市販の関数電卓)やEXCELを使って計算すればいいでしょう。
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この回答へのお礼

info22様ありがとうございました。
自分で納得できても、客先に説明するには
あまり複雑になっても理解を得られないものですから
大変助かりました。

お礼日時:2011/04/18 11:05

a=150とおくと


円錐の底面半径=4a,円錐の高さ=2a
円錐面の方程式:z=f(x,y)=2a-(√(x^2+y^2))/2
切り取られた立体の側表面積:
S=∫∫[D]√(1+fx^2+fy^2) dxdy, D:{(x,y)|x^2+y^2<=16a^2,a<=x<=4a}

fx=(x/2)/√(x^2+y^2),fy=(y/2)/√(x^2+y^2),√(1+fx^2+fy^2)=√5/2 なので

S=∫[a,4a] dx 2∫[0,√(16a^2-x^2)] √5/2 dy
=∫[a,4a] √5√(16a^2-x^2) dx
={8√5π-5√3-16√5sin^-1(1/4)}(a^2)/2
≒19.24905 a^2
≒433103.627
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この回答へのお礼

御礼が遅れて申し訳ございません。
ご回答ありがとうございます。
回答についてですが、修正をお願いしたいのですが。
この質問について、ある構造物の面積を出そうとしています。
ですので、数値は質問に記載してあるものより複雑なものです。
質問は、回答者がわかりやすいように、また回答していただいたものに
自分自身で、本当の数値を入れ計算できるように、近似値での数値を
記載いたしました。
 ですので、最初にa=150とおいてしまうと、さほど数学に強くない
自分として見れば、少々わかりづらいのですが。
上記のことを前提に再回答は可能でしょうか。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/04/18 08:16

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Q円錐の一部分の体積を求める方法

円錐の体積を求める公式は
(底面の半径×底面の半径×円周率×高さ)÷3
とのことですが、この場合、高さが与えられている必要があります。

では、円錐形の一部分、
「底からある程度の高さの部分で水平に分割した、台座の部分の体積を求める」
にはどうしたらいいですか?

例えば、ここに、紙コップやバケツを伏せて置いたような、円錐の一部分の物体があります。
底面の形状は円、半径はx、
上面の形状は円、半径はy(但しx>yである)
高さはhです


仮に、円錐が完全だった場合の「円錐の高さ」が与えられていたならば、
「円錐全体の体積から、失われた部分の体積を除けば、台座部分の体積となる」
という解き方ができるでしょうが、この問題の場合、
円錐が完全だった場合の「円錐の高さ」
は与えられていません。

頭の良い人はどうやって解くのでしょうか?
(高さとx、yの比から、側面の角度を計算し、そこから「円錐が完全だった状態の高さ」を算出して、さらにそこから「円錐全体の体積から、失われた部分の体積を除けば、台座部分の体積となる」
という方法は、遠回りですよね・・・)

円錐の体積を求める公式は
(底面の半径×底面の半径×円周率×高さ)÷3
とのことですが、この場合、高さが与えられている必要があります。

では、円錐形の一部分、
「底からある程度の高さの部分で水平に分割した、台座の部分の体積を求める」
にはどうしたらいいですか?

例えば、ここに、紙コップやバケツを伏せて置いたような、円錐の一部分の物体があります。
底面の形状は円、半径はx、
上面の形状は円、半径はy(但しx>yである)
高さはhです


仮に、円錐が完全だった場合の「円錐の...続きを読む

Aベストアンサー

間違えた・・nじゃなくh

念のためTex( https://ja.wikipedia.org/wiki/TeX )
V=\int^{h}_{0}\pi\left(\dfrac{r_{1}-r_{2}}{h}x+r^{2}\right)^{2}dx=\dfrac{\pih}{3}\left(r^{2}_{1}+r_{1}r_{2}+r^{2}_{2}\right)

Q高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の

高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の角度で交わる平面で
切断したとき、小さい方の体積を求めよ。

これを次のように考えましたが、答えとは異なるのですが、
考え方のどこが間違っているのか分かりません。考え方を示しますので
誤りをご指摘ください。
最初に切断したときの切り口をS1とする。
次に小さい方の体積を切り口S1に平行な平面で切った切り口をS2とする。
このとき、S1とS2は相似な図形だから、以下、S1に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
思いました。
中心を通って、S1と45°になる直線をX軸にして、中心のX座標を0として、
積分の式は、S1の面積をAとするとA×∫[0~a](a-x)^2/2dxとなりました。

Aベストアンサー

>(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は?

「すべての放物線は相似である」は正しいですが、放物線の一部だけを見た場合は相似とは限りません。
例えば、y=x^2とy=2x^2とは相似としていいですが、-1≦x≦1の区間だけにすると相似ではありません。
相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。


(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか?

(a-x)^2/2がどこからきたのかわかりませんが、相似でなくても考え方の方向は合ってます。

S1の面積をAとすると、これはx=0のときの面積だから、
x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります。
(x=0のとき1倍、x=aのとき0倍になる)

よって、求める体積は、

V=(√2/2)×A×∫[0~a]((a-x)/a)(√(a^2-x^2)/a)dx

となります。(初めの(√2/2)は切り口が45度傾いているため)

Q円錐の体積の最大値について

円錐の体積の最大値について
円錐の体積の最大値になる時の頂点の中心角を求める式を教えてほしいです。294度あたりなのはわかるんですが、その求め方がわからないです。 あと角と体積の関係を示したグラフが載っているサイトを教えていただくとうれしいです。 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円錐の母線の長さが一定として、体積の最大となるときの円錐の展開図の中心角を求めたいのでしょうか。

母線の長さを1、中心角をxとすると、円弧の長さはx、
それを円にしたときの半径rは、
2πr=x より、r=x/(2π)
底面積Sは、S=πr^2=x^2/(4π)
円錐の高さhは、三平方の定理より、
h=√(1-r^2)=√(1-x^2/(2π)^2)=√(4π^2-x^2)/(2π)
体積Vは、
V=Sh/3={x^2/(4π)}*{√(4π^2-x^2)/(2π)}/3
=x^2*√(4π^2-x^2)/(24π^2)

体積が最大になるのは、dV/dx=0のときなので、
dV/dx=2x*√(4π^2-x^2)/(24π^2)-x^3/{(24π^2)√(4π^2-x^2)}
=x(8π^2-3x^2)/{(24π^2)√(4π^2-x^2)}=0
より、
x=(2√6/3)π≒293.939度


サイトは分かりませんが、角と体積の関係式は、
V=x^2*√(4π^2-x^2)/(24π^2)

Q半径rの円を底面とする高さhの円錐の体積の問題

お世話になります。
1.頂点から底面への垂直線で、頂点からの距離がy(0<y≦h)となる点を通り、底面に平行な切断面の面積を求めよ。
2.微小区間dyを考える時、その切断面の円柱の体積を求めよ。さらに、これを用いて、積分により円錐の体積を求めよ。
という、2問があり、問1については、比を利用して(y/h・r)^2・3.14、問2については∫(y/h・r)^2・3.14で円柱の面積がもとまり、円錐は円柱の面積の1/3なので1/3∫(y/h・r)^2・3.14という解答を作りました。ここで、微小区間dyの範囲を決めなくてはならなかったもか、この解き方であっているのか、重積分を使って解くべきなのか、解答がないため分かりません。

Aベストアンサー

>問2については∫(y/h・r)^2・3.14で円柱の面積がもとまり
円柱の体積はdV=π(ry/h)^2dy
です。
>円錐は円柱の面積の1/3なので1/3∫(y/h・r)^2・3.14という解答を作りまし
円錐の体積V=∫[0→h] π(ry/h)^2 dy
=π{(r/h)^2}∫[0→h] y^2 dy
=π{(r/h)^2}[(1/3)y^3] [0→h]
=π{(r/h)^2}(1/3)(h^3-0)=(1/3)π(r^2)h
と解きます。
>重積分を使って解くべきなのか、
回転体の積分になりますので重積分の必要性はありません。

Q円錐の体積の問題【数I】求め方の違いについて

OHを高さとする円錐がある。OHを2:1に内分する点をMとし、
Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=3cm、底面の半径を9cmとするとき、
HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。

解けたのですが、解説の欄に

9^2π×9÷3(1-8/27)

という式が載ってました…
これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_

ちなみに自分は、大きい円錐から小さい円錐を引いて
体積を求めました。答えは171π cm^3です。

Aベストアンサー

OHを高さとする円錐がある。OHを2:1に内分する点をMとし、
Mを通り底面に平行な平面で切る。HM=3cm、底面の半径を9cmとするとき、
HMを高さとする円錐台の体積を求めよ。

解けたのですが、解説の欄に

9^2π×9÷3(1-8/27)

という式が載ってました…
>これはどういう考え方なのでしょうか。教えてください_(._.)_

小さい円錐と大きい円錐の体積比は、2^3:3^3=8:27より、
円錐台と大きい円錐の体積比は、(27-8):27 だから、
円錐台の体積
=大きい円錐の体積×{(27-8)/27}
=(9^2π×9÷3)×(1-8/27)

ということだと思います。

Q高校数学です。 底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の

高校数学です。

底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の最大値を求めよ。


という問題です。どうやって解くのか教えてください。

Aベストアンサー

底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 + ((h^2+1)/2)^2 ) <ここまですべて平方根の中です>

したがって,a^2= -(h^2-1)/2 =(1-h^2)/2 のとき,すなわちa=√(1-h^2)のとき
最大値 (h^2+1)/2
ただし,これはh<=1 の場合

h>1の場合は,a=0のとき最大でS= h

底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2...続きを読む

Q円錐の体積の求め方について

円錐の体積はなぜ円柱の体積に3分の1をかけるとでるのでしょうか。

Aベストアンサー

こんなサイトがありました。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

円柱の体積、球の体積、円錐の体積の比率はギリシャ時代には知られていたようです。
きちんと求めるには微分・積分の考えが必要であるという事があるとしてもやはり知りたいですよね。

三角錘、四角錘の体積が三角柱、四角柱の体積の1/3になるというのは幾何的に求めることができます。
あちこちのサイトに求め方は紹介されていると思います。
その結果を使います。

(1)三角錘とします。
底辺は三角形です。横から見ても三角形です。
半分の高さのところで切って断面を考えれば横幅は半分になっています。断面の形は底辺に相似形の三角形です。面積は1/4になっています。どの高さのところで切っても相似形になります。高さが分かれば面積が分かります。底辺の三角形の面積を2倍にしたとします。任意の高さで切った断面の面積ははじめの2倍になっています。

(2)この関係は四角錘でも同じです。どの高さで切っても相似な四角形が出てきます。高さが半分のところで切った切り口の面積が底辺の面積の1/4というのも同じです。

(3)こう考えると同じ高さの角錘の体積の違いは底辺の図形の形と面積の違いによって生じる事になります。
また底辺の図形の形が違っても面積が同じであれば体積は同じになるだろうということも分かります。
どの高さで切っても出てくる図形の面積が等しいのですから体積もひとしいだろうということです。

(4)円柱と円錐の関係もこれで出てきます。
どの断面で切っても円が出てきます。高さと共に断面の面積が変化する割合は三角錘の時と同じです。
高さが同じで底辺の面積が等しい、三角錘と円錐は体積が等しいです。どの高さで切っても出てくる三角形と円の面積が等しいのですから。1/3というのは共通です。

たくさんの鉛筆を並べて長方形を作ったとします。
その鉛筆を少しずつ横にずらしていくと図形が変わります。でも面積はどれも初めの長方形の面積と同じです。
平行四辺形のような直線の図形でなくても成り立ちます。
これを体積についても考えた事になります。
(3)で「どの高さで切っても出てくる図形の面積が等しいのですから体積もひとしい」としたところです。

切り口の断面で見るというのは細かい部分に分けて考えるというのとおなじだから微分とか積分の考え方だと言う人が出てくるかもしれません。でもニュートン以前にこういう考え方はされていたのです。
ニュートンもこういう風な考え方を踏まえていたと思います。
もっと一般的に成り立つように数学的に体系化したということだろうと思います。

錘形は横から見れば直線図形ですから比例で考えるというのがやりやすいです。
微分を使わなければ出来ないと言うほどものではないという気がします。
無限小というような考え方がなかった時代のものですからそういう点での厳密さを要求しても仕方がありません。

(小学校の時に遊んだブロックや、タイルがまだ残っていればいろんな図形を作って確かめて下さい。
面積でも体積でも確かめることができます。ブロックの数が同じであれば並べ替えても面積や体積は変化しません。)

こんなサイトがありました。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

円柱の体積、球の体積、円錐の体積の比率はギリシャ時代には知られていたようです。
きちんと求めるには微分・積分の考えが必要であるという事があるとしてもやはり知りたいですよね。

三角錘、四角錘の体積が三角柱、四角柱の体積の1/3になるというのは幾何的に求めることができます。
あちこちのサイトに求め方は紹介されていると思います。
その結果を使います。

(1)三角錘とします。
底辺は三角形です。横から見ても三角形...続きを読む

Q円錐の底面の半径 ヒントをお願い

やり方があってるか 教えてください
高さ 6 cm の円錐 その表面積が 36πcm^2とする。
円錐の底面の半径を ⅹ 、母線の長さをXとすると
底面の面積     +  扇の面積
ⅹ^2π     + ⅹXπ =36πcm^2
X=√(6^2+ⅹ^2)だから
ⅹ^2+ⅹ・(√(6^2+ⅹ^2)=36 

⇒ⅹ^2+ⅹ・(√(6^2+ⅹ^2)-6^2=0
この ⅹ(何でもxとしてしまって申し訳ありません)と解くといいんじゃないかと思うのですが ここから分らなくて
なにか ヒントを下さい。お願いします。

Aベストアンサー

 問題は

>高さ 6 cm の円錐 その表面積が 36πcm^2

である円錐の底面の半径を求めることでしょうか。式の細部はよくは見ていませんが、やり方は別に誤っていないように見えます。
 ただ√の中に未知数が入ってしまって、あとがじゃまくさくなりますね。

 またご自身が言っておられるように、底面の半径と母線の長さをどちらも x として大文字小文字で区別、というのは感心しません。

 底面の半径を r、母線の長さを c としましょう。

高さ・半径・母線でピタゴラスの定理より
 c^2 = r^2 + 6^2 ……(1)
また面積の計算から
 πr^2 + πrc = 36π → 整理して r^2 + rc = 36 ……(2)

この (1)(2) から r(と c も?)を求めればいいわけですね。
(1)を c について解いて (2) に代入するやり方をされてますが、逆に (2) を c について解いて (1) に代入する方が計算が簡単そうです。

(2)より c = (36 - r^2)/r
 これを (1) に代入
(36 - r^2)^2/r^2 = r^2 + 36
ややこしそうですが、実際に分母を払って展開をすれば、結構簡単な式になりそうですよ。

 問題は

>高さ 6 cm の円錐 その表面積が 36πcm^2

である円錐の底面の半径を求めることでしょうか。式の細部はよくは見ていませんが、やり方は別に誤っていないように見えます。
 ただ√の中に未知数が入ってしまって、あとがじゃまくさくなりますね。

 またご自身が言っておられるように、底面の半径と母線の長さをどちらも x として大文字小文字で区別、というのは感心しません。

 底面の半径を r、母線の長さを c としましょう。

高さ・半径・母線でピタゴラスの定理より
 c^2 ...続きを読む

Q円錐と球の体積

球Aは底面の半径が6、母線の長さが10の円錐の容器にぴったりとおさまる。
(1)球Aの体積を求めよ。
(2)この円錐の容器に水を満たしてから、球を静かに入れたとき容器内に残っている水の体積を求めよ。

高校一年生なのですが、全く分かりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

球の体積は半径さえわかればいいのです。
>球Aは底面の半径が6、母線の長さが10の円錐の容器にぴったりとおさまる。
とは図のような状態です。球が円錐に対して点Bで底面に接し、点Dで側面に接しています。
球の半径をrとすると、三角形AOBと三角形AODは両方とも直角三角形であり、かつ辺OBと辺ODが等しくて、辺AOを共有しているので「合同=同じ図形」であることがわかります。よって辺AD=6 であることがわかります。
一方、辺AB=6、辺AC=10ということから三角形ABCの高さに当たる辺BC=8 であることも計算できます。
以上から三角形DOCに着目すると
4^2+r^2=(8-r)^2 という式が導かれますね。これを解けばrがわかります。
(2)は円錐の体積から球の体積を引いた残りという意味です。

Q円錐が切り取る円の表面積

半径rの球の中心を頂点とする、頂角2θの円錐が切り取る球の表面積を求めたいのですが、どのように考えればよいのでしょうか。

Aベストアンサー

空間座標において、zあたりを固定した時の円の周の長さを積分していけば求まるかと


というより、円錐の条件が足りない気が…


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