次の式を証明していただけませんか。
和はnの和で、n=1,3,5,7・・・と奇数です。

∑[8/(n・sinh(nπ)]=log2

数値計算では両辺が等しいことを確認しています。
お願いいたします。

A 回答 (2件)

もう少し一般的に次の式が成立します。



∑8/((2n+1)・sinh((2n+1)a)) =-log(1-k^2) --------(1)
(和∑はnについて、nは0と正整数にわたる。)

ここでa,kについて
aはa=π・(K'(k)/K(k))で定義され、K(k)は母数kの
第一種完全楕円積分で次の式であらわされます。
K(k):=∫[θ:0->2π] dθ 1/(1-k^2・sin^2(θ))^(1/2)
一方、K'(k)は
K'(k):=K((1-k^2)^(1/2))=K(k')
(ここでk':=(1-k^2)^(1/2)とします。)
で定義されます。
(記号の定義は岩波数学公式集I(§49完全楕円積分)に従っていますので参照してください)

ご質問の式はa=πのとき、すなわちK'(k)/K(k)=1のときですが、
これも岩波数学公式集I(§49完全楕円積分の後半の表)によれば
この時の母数kは1/√2であることがわかります。
(1)式の右辺-log(1-k^2) に代入するとlog2となり
ご質問の式

∑8/((2n+1)・sinh((2n+1)π)) =log2
になります。



(1)式が成立することを以下に示します。
(以下で使う関係式、記号の定義は岩波数学公式集III第2章楕円テータ函数
にすべてありますので参照してください)
q=e^(i・π・τ)として
q2:=Π(1+q^(2n-1)),q3:=Π(1-q^(2n-1))
(積Πはnについて、nは正整数にわたる。)
とすると
log(q2)=(1/2)∑(-1)^m/(m・sinh(i・π・τ・m))
log(q3)=(1/2)∑1/(m・sinh(i・π・τ・m))
(和∑は共にmについて、mは正整数にわたる。)
となるので

∑1/((2n+1)・sinh(i・π・τ・(2n+1))=log(q3/q2)---------(2)
となる。
(和∑はnについて、nは0と正整数にわたる。)

右辺のq3/q2は楕円テータ函数と関係があり、
q3/q2=(θ00/θ30)^(1/2)が成り立ちます。
ここでθ00,θ30は
θ00:=1+2・Σ(-1)^n・q^(n^2),θ30:=1+2・Σq^(n^2)
で定義されます。
また(θ00(τ)/θ30(τ))はτ=i・(K'(k)/K(k))のときk'と
k'=(θ00/θ30)^(2)
の関係にあるので
(岩波数学公式集III(§13(ii)Jacobiの楕円関数との関係)参照)
(2)式は結局
∑1/((2n+1)・sinh(-π・(K'(k)/K(k))・(2n+1))=1/2・log(k')^(1/2)
(和∑はnについて、nは0と正整数にわたる。)
となり、この式はa=π・(K'(k)/K(k))とおきk':=(1-k^2)^(1/2)とすると
(1)式の両辺を-8で割った式に対応することがわかります。
以上です。
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どういう数値計算をしたのか分かりませんが、とにかく両辺が等しいことを確認したのであれば、証明が終了したことになります。


これ以上、何を要求しているのでしょうか。
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