(ア)~(ク)をそれぞれ求めよ。
(1)放物線y=x^2+2x+2をx軸方向に(ア)、y軸方向に(イ)だけ平行移動すると、放物線y=x^2-4xになる。
(2)x^2=(x-3)^2+a(x-3)+bがxの恒等式であるとき、定数a、bの値はa=(ウ)、b=(エ)である。
(3)sinθ+cosθ=√2/2のとき、sinθcosθ=(オ)、sin^3+cos^3=(カ)である。
(4)a,a,a,b,b,cの6文字を横一列に並べる方法は全部で(キ)通りあり、そのうち、2つのbが隣り合わないような並べ方は(ク)通りある。

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A 回答 (3件)

(1)与えられた放物線はy=x^2+2x+2、これを平方完成…y=(x+a)^2+bの形にすること…すると、y=(x+1)^2+1となり、グラフの頂点は(-1,1)。

また、移動後の放物線も同様にy=(x-2)^2-4となり、頂点は(2,-4)です。(-1,1)→(2,-4)なので、x座標は-1+3=2,y座標は1+(-5)=-4より、        (ア)3、(イ)-5 (答)
(2)右辺を展開して整理すると、 右辺=x^2-6x+9+ax-3a+b =x^2+(a-6)x+(9-3a+b)  恒等式の場合、同類項の係数が等しくなければならないので、左辺=x^2と係数を比較して、 a-6=0 かつ 9-3a+b=0   以上より (ウ)a=6、(エ)b=9 (答)
(3)三角比の基本公式である、sin^2θ+cos^2θ=1…(1)を利用します。 与えられた式から、両辺を2乗して、
 sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=2/4=1/2  (1)より 1+2sinθcosθ=1/2 2sinθcosθ=-1/2 よって
 (オ)sinθcosθ=-1/4…(2) (答)
 また3乗の展開公式  x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) を利用します。この式のxをsinθ、yをcosθに置き換えると、
 与式(sin^3θ+cos^3θ)=(sinθ+cosθ)(sin^2θ-sinθcosθ+cos^2θ)
 上の(1)(2)と、条件のsinθ+cosθ=√2/2を利用して、与式=(√2/2)×{1-(-1/4)}=(√2/2)×(5/4)=5√2/8
 よって、 (カ)sin^3θ+cos^3θ=5√2/8 (答)
(4)同じものを含む順列の場合、3種類がそれぞれp、q、r個ずつ、合計n個あって1列に並べる順列は n!/p!q!r! (通り)です。
 よって、a、b、cが3,2,1個の場合、合計6個でその順列は 6!/3!2!1!=720/6×2×1=60(通り)  よって(キ)60(通り)(答)
 ※6!は6の階乗(6×5×4…×1)を表す。以下、1!=1であるから省略する。
 bが隣り合わないのは、b以外の4文字(a3つc1つ)をあらかじめ並べ、そのすき間と両端にbを2つ入れればよいから、a,a,a,cの並べ方は上のように4!/3!=4(通り)です。このとき、bを入れる場所は端とすき間の5か所あり、このうち2つを選びます。bは区別できないので、2か所の選び方は5C2=10(通り) よって求める場合の数は 4×10=40通り (ク)40(通り) (答)

(4)後半別解:bが隣り合う場合を考えます。bbはbが区別できないので1通り、bbをXとおいて、a,a,a,c,Xの順列を考えます。上のやり方で、5!/3!=20(通り)  隣り合わない場合を求めるので、すべての場合の数60通りから20通りをひいた40通りが答え。
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(1)両方平方完成して(x-a)^2+b、(x-c)^2+dという形にし、aとC、bとdを比較。


(2)右辺を展開して係数を比較。
(3)(sinΘ+cosΘ)^2=1/2、sin^2Θ+cos^2Θ=1なので・・・?
   (カ)は因数分解して(オ)の結果を使う。
(4)ひとまずa三つはa1、a2、a3、b二つはb1、b2として区別できるものとして並べ方を考え、実は区別できないので後で3!*2!(3!はa三つの並べ方、2!はb二つの並べ方の数)で割る。(ク)はbが隣り合う並べ方を後で引く。b二つを一つと考え、五文字を並べる並べ方を考える。
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ア  3   イ -5



ウ  6   エ  9
Xに適当な値を代入して解く

オ -(1/4)
カ  5√(2)/8

(SINx + COSx)^2=1+2SINXCOSX= 1/2

SINX^3 + COSX^3=(SINX+COSX)^3-3SINXCOSX(SINX+COSX)

キ 60   6!÷(3!2!)

ク 60-(5!/3!)=40
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