数Iと数Aの小問集合の解き方と答えを教えて下さい。

（ア）～（ク）をそれぞれ求めよ。
（1）放物線y＝x＾2＋2x＋2をx軸方向に（ア）、y軸方向に（イ）だけ平行移動すると、放物線y＝x＾2－4xになる。
（2）x＾2＝（x－3）＾2＋a（x－3）＋bがxの恒等式であるとき、定数a、bの値はa＝（ウ）、b＝（エ）である。
（3）sinθ＋cosθ＝√2/2のとき、sinθcosθ＝（オ）、sin＾3＋cos＾3＝（カ）である。
（4）a，a，a，b，b，cの6文字を横一列に並べる方法は全部で（キ）通りあり、そのうち、2つのbが隣り合わないような並べ方は（ク）通りある。

No.3 ベストアンサー 回答者： 9101011120 回答日時： 2011/04/17 21:54

(1)与えられた放物線はy=x^2+2x+2、これを平方完成…y=(x+a)^2+bの形にすること…すると、y=(x+1)^2+1となり、グラフの頂点は(-1,1)。

また、移動後の放物線も同様にy=(x-2)^2-4となり、頂点は(2,-4)です。(-1,1)→(2,-4)なので、x座標は-1+3=2,y座標は1+(-5)=-4より、　　　　　　　　(ア)3、(イ)-5　(答)
(2)右辺を展開して整理すると、　右辺＝x^2-6x+9+ax-3a+b =x^2+(a-6)x+(9-3a+b)　　恒等式の場合、同類項の係数が等しくなければならないので、左辺=x^2と係数を比較して、　a-6=0　かつ　9-3a+b=0　　　以上より　(ウ)a=6、(エ)b=9　(答)
(3)三角比の基本公式である、sin^2θ＋cos^2θ=1…(1)を利用します。　与えられた式から、両辺を2乗して、
　sin^2θ＋2sinθcosθ＋cos^2θ＝2/4=1/2　　(1)より　1+2sinθcosθ＝1/2　2sinθcosθ＝-1/2　よって
　(オ)sinθcosθ＝-1/4…(2)　(答)
　また3乗の展開公式　　x^3+y^3＝(x+y)(x^2-xy+y^2)　を利用します。この式のxをsinθ、yをcosθに置き換えると、
　与式(sin^3θ+cos^3θ)＝(sinθ＋cosθ)(sin^2θ－sinθcosθ＋cos^2θ)
　上の(1)(2)と、条件のsinθ+cosθ＝√2/2を利用して、与式＝(√2/2)×{1-(-1/4)}=(√2/2)×(5/4)=5√2/8
　よって、　(カ)sin^3θ+cos^3θ＝5√2/8 (答)
(4)同じものを含む順列の場合、3種類がそれぞれp、q、r個ずつ、合計n個あって1列に並べる順列は　n!/p!q!r!　(通り)です。
　よって、a、b、cが3,2,1個の場合、合計6個でその順列は　6!/3!2!1!＝720/6×2×1＝60(通り)　　よって(キ)60(通り)(答)
　※6!は6の階乗(6×5×4…×1)を表す。以下、1!=1であるから省略する。
　bが隣り合わないのは、b以外の4文字(a3つc1つ)をあらかじめ並べ、そのすき間と両端にbを2つ入れればよいから、a,a,a,cの並べ方は上のように4!/3!=4(通り)です。このとき、bを入れる場所は端とすき間の5か所あり、このうち2つを選びます。bは区別できないので、2か所の選び方は5C2=10(通り)　よって求める場合の数は　4×10＝40通り　(ク)40(通り)　(答)

(4)後半別解：bが隣り合う場合を考えます。bbはbが区別できないので1通り、bbをXとおいて、a,a,a,c,Xの順列を考えます。上のやり方で、5!/3!=20(通り)　　隣り合わない場合を求めるので、すべての場合の数60通りから20通りをひいた40通りが答え。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/04/17 21:33

（１）両方平方完成して（ｘ－ａ）＾２＋ｂ、（ｘ－ｃ）＾２＋ｄという形にし、ａとＣ、ｂとｄを比較。

（２）右辺を展開して係数を比較。
（３）（ｓｉｎΘ＋ｃｏｓΘ）＾２＝１／２、ｓｉｎ＾２Θ＋ｃｏｓ＾２Θ＝１なので・・・？
　　　（カ）は因数分解して（オ）の結果を使う。
（４）ひとまずａ三つはａ１、ａ２、ａ３、ｂ二つはｂ１、ｂ２として区別できるものとして並べ方を考え、実は区別できないので後で３！＊２！（３！はａ三つの並べ方、２！はｂ二つの並べ方の数）で割る。（ク）はｂが隣り合う並べ方を後で引く。ｂ二つを一つと考え、五文字を並べる並べ方を考える。

No.1 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/04/17 21:18

ア　　３　　　イ　－５

ウ　　６　　　エ　　９
Ｘに適当な値を代入して解く

オ　－（１/4)
カ　　５√（２）/8

(SINx + COSx)^2=1+2SINXCOSX= 1/2

SINX^3 + COSX^3=(SINX+COSX)^3-3SINXCOSX(SINX+COSX)

キ　６０　　　６！÷（３！２！）

ク　６０－（５！/3!)=40