《問題》 底面が一辺a cmの正方形で,高さがh cmの正四角柱がある。この正四角柱の底面の一辺の長さを2倍にし,高さを半分にした正四角柱の体積は,もとの正四角柱の体積の何倍になりますか。

《答え》 2倍


どうしてこの答えになるのかがわかりません。 わかりやすく教えて下さい。

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A 回答 (4件)

四角柱の体積の求め方…底面×高さです。



底面は正方形なので、もとの四角柱はa×a×h

新しい四角柱は一辺が2倍で高さが半分なので

 2a×2a×h/2

これを計算して比べてみて下さい。
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床面だけ考える=縦横が倍 = 4倍


高さだけ 〃  = 半分

=aの時の4倍/ソレを半分=2倍

絵に描いて考えてみ?
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この回答へのお礼

教えて下さりありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2011/04/17 22:46

 


元の四角柱の体積
a×a×h
問題の四角柱の体積
2a×2a×h/2
=2×a×2×a×h÷2
=2×2÷2×a×a×h
=2×a×a×h

答え2倍
 
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もとの四角柱の体積a^2hcm3


底面の長さを2倍ということは底面積(2a)^2=4a^2cm2
高さが半分なので体積は4a^2×(h/2)=2a^2hcm3
なので2倍になります
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http://www.kuronekoyamato.co.jp/yamatobin/yamatobin.html

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aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
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三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
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Q高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の

高さa,底面の円の半径aの円錐を、底面の円の中心を通り、底面と45°の角度で交わる平面で
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このとき、S1とS2は相似な図形だから、以下、S1に平行な平面で切った
切り口はすべて相似であることから、この切り口の面積を積分すると求める体積になると
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Aベストアンサー

>(1)簡単に相似でないと判断はできる方法は?

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相似であると明確に証明できない限りはむやみに相似と判断しないことです。


(2)もし、相似だったら質問のような方法で積分してよいのでしようか?

(a-x)^2/2がどこからきたのかわかりませんが、相似でなくても考え方の方向は合ってます。

S1の面積をAとすると、これはx=0のときの面積だから、
x=tのときの面積は、縦方向に(a-t)/a倍、横方向に√(a^2-t^2)/a倍したものになります。
(x=0のとき1倍、x=aのとき0倍になる)

よって、求める体積は、

V=(√2/2)×A×∫[0~a]((a-x)/a)(√(a^2-x^2)/a)dx

となります。(初めの(√2/2)は切り口が45度傾いているため)

Qスプリングの体積の計算方法を教えてください

仕事の都合で、スプリングの重量、体積を計算したいのですが
計算式があったら教えてください。
重量の目安程度なので、計算値の精度はそれほど問いません。

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スプリング体積Vは次の式で求めることができます。

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     rはスプリング線の半径、つまり線径の1/2。
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ただし、スプリングの巻きの密度が粗い場合には次の補正が必要です。
 補正後のV=V/cos(θ)
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Q何で数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,FじゃなくてI,II,IIIとA,B,Cなの

高校の数学についてのかなり阿呆な疑問なのですがなぜ数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,Fとかに統一しないで数学I数学A数学II学B数学III数学Cという風に区別されているのですか。
ところで自分はそんなに頭が良くないので優秀な回答を頂いても全く理解できない事も予想されます。
そういう場合は笑って許してください(汗)。

Aベストアンサー

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学...続きを読む

Q体積の計算を教えてください

次の物体の体積がわかりません。
計算方法から教えてください。よろしくお願いします。

底辺の半径が12m、高さ12mの円錐があります。
底辺の中心から6.9m離れたところで、底辺から垂直に切断した時、小さいほうの物体の体積は何m3になるでしょうか。

Aベストアンサー

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
よって、切り口の円の半径は s
円の式は x^2+z^2=s^2

したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
x^2+z^2=y^2  ・・・式1
で表せます。

次に方向を変えて、この円錐を、xy平面に平行な平面z=sで切ると、切り口は図3のような双曲線の一部になります。
(放物線ではない。)
式1に z=s を代入して、
x^2+s^2=y^2
x=±√(y^2-s^2)  ・・・式2
y=±√(x^2+s^2)  ・・・式3

ここから先は、2通りのうち好きな方で積分をして
車線部分の面積 S(s) を求めます。

しかし、質問者さんが積分を習っていなかったり、積分での答えを求めていなかったら、意味ないので、計算は省略します。

解法1
S(s)=∫【s~12】{√(y^2-s^2)-(-√(y^2-s^2))}dy
=2∫【s~12】√(y^2-s^2)dy

解法2
S(s)=∫【-√(12^2-s^2)~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx
=2∫【0~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx

どちらでも S(s) は同じ式になると思います。
あとは、問題で与えられた範囲で面積を積分して体積を求めます。

(小さい方の体積)=∫【6.9~12】S(s)ds

以上です。
積分は公式を見ながらがんばってください。

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
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よって、切り口の円の半径は s
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Q一辺の長さがaの正方形の中にある図形の面積

一辺の長さがaである正方形があります。この正方形の各頂点を中心とする4つの半径aの円に囲まれた四角形?の面積ってこの条件だけで求まりますか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問題を解くには、3つの角が30°,60°,90°である直角三角形の3辺の比が1:2:√3 であるということを知っていないとできません。

それにしても、中学入試で√を扱うとは…

解法ですが、正方形の頂点を左上から反時計回りにA,B,C,Dとします。また、真中にできた四辺形の頂点を辺ADに近い方から、反時計回りにE,F,G,Hとします。
Eから辺BCへ垂線を下ろし、その交点をPとします。

A    D
  E
 F  H     ←だいたい、こんな位置関係
  G
B  P  C

BE,BC,ECはそれぞれ半径で等しいので、△EBCは正三角形になります。
扇形B-ECの面積は求められますよね。(半径a,中心角60°)
次に△EBCの面積を求めます。
このときに、「3辺の比が1:2:√3 である」ということを使います。
具体的には、△EBC=2×△EPBで
△EPBにおいて、BP=a/2, PB=(√3)aになり、「底辺かける高さ÷2」が使えます。
すると、
(扇形B-ECの面積)-(△EBCの面積)
より、BとEで囲まれた弓形のような部分の面積が分かります。(これを弓形BEと表すことにします。)

次に扇形B-AEを考えます。
△EBCが正三角形なので、∠EBC=60°ですから
∠ABE=30°となり、半径a、中心角30°でこの面積も計算できます。

最後に
(扇形B-AEの面積)-(弓形BEの面積)
により、A,B,Eで囲まれたイチョウの葉っぱの半分みたいな形の面積が求まります。(これをイチョウ形ABEと表します。)

求めたい四辺形の面積は
(正方形の面積)-(イチョウ形ABEの面積)×4
です。

実際に図を書いてみると、分かりやすいと思います。
一度、aに具体的な数字を入れて、ご自分で計算してみてください。

この問題を解くには、3つの角が30°,60°,90°である直角三角形の3辺の比が1:2:√3 であるということを知っていないとできません。

それにしても、中学入試で√を扱うとは…

解法ですが、正方形の頂点を左上から反時計回りにA,B,C,Dとします。また、真中にできた四辺形の頂点を辺ADに近い方から、反時計回りにE,F,G,Hとします。
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QEXCELで座標から体積の計算

4点の3次元座標をいれてEXCELで体積の計算をしたいのですができますでしょうか
形は不定形です
よろしくお願いします

Aベストアンサー

計算は出来ます。
計算方法、計算式の問題ですので、どちらかというと数学的なお話です。

4点をABCDとします。
三角形ABCの面積を求めます。
 -BCの長さ、ACの長さ、ABの長さを計算してヘロンの公式
 -角A、ABの長さ、ACの長さを計算して
点DからABCのなす面への距離を求めます。
三角錐(=四面体)の体積=底面積(△ABC)×高さh(点Dから△ABCの距離)×1/3

とか。

--
方法はともあれ、とにかく体積が知りたいぜ。って場合、Excel用のオンラインソフトなどから座標入力できるものが無いか、探してみては?

体積計算アドイン2.1
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se272062.html
AutoFigure1.0.1
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se298074.html
Excel面積、体積の計算
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se252113.html
体積&重心1.6
http://www.vector.co.jp/soft/win95/edu/se288993.html

計算は出来ます。
計算方法、計算式の問題ですので、どちらかというと数学的なお話です。

4点をABCDとします。
三角形ABCの面積を求めます。
 -BCの長さ、ACの長さ、ABの長さを計算してヘロンの公式
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Qたて40cm、横25cm、高さ30cmの直方体の容器に高さが12cmに

たて40cm、横25cm、高さ30cmの直方体の容器に高さが12cmになるまで水を入れます。その後半径が10cmの円で、高さが20cmの筒の仕切りA,Bを入れます。そこへ1辺の長さが4cmの立方体を、1回につき、しきりAの方には1個ずつ、しきりBの方には3個ずつしずめていきます。

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問1 立方体をしずめていき、しきりBから水があふれるのは何回目ですか。
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Aベストアンサー

すいません 問2で筒Aないの上昇分を忘れていました。
 
 問2 40*25(水槽面積)-10*10*3(筒の面積)*2=400(残りの面積)    
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    13回目の水位の差は
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    筒Aの水位の上昇は
    4*4*4/(10*10*3)≒0.21
    上記より 0.64-0.21=0.43差が縮まるので
    2.53/0.43≒5.88 6回目
    よって 13+6=19回目
   


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