鉛筆が270本くらいあります。
7本づつ分けると2本余り、9本づつ分けると4本余り、12本づつ分けると7本余ります。
この鉛筆の数は何本でしょう。

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

この問題のミソは、7と2、9と4、12と7の差がどれも5だということです。



つまり、持っている鉛筆に5本足してやると、7でも9でも12でも割り切れるということです。

7、9、12の最小公倍数は252で、それが270に一番近い数ですから、252本から5本引いた247本が答になります。
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7a=X-2


9b=X-4
12c=X-7

これを見ると一見統一性が見えませんが7本の時は7、9本の時は9
12本の時は12を足してみます

7a=X-2+7
7a=X+5
9b=X-4+9
9b=X+5
12c=X-7+12
12c=X+5

問題文を言い換えると
7本づつ配ると5本たらない
9本づつ配ると5本たらない
12本づつ配ると5本たらない
この時鉛筆は何本でしょう

7と9と12の公倍数から5引いたものが答えです。
最小公倍数が2×2×3×3×7=252
252-5=247
次は252×2-5=499
なので247だと思います。
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これはパワーで解けば解けない事もない問題です。



3つの条件が一致する数を求めてやればいい。

まず7x+2 9y+4 12z+7として
それぞれが鉛筆の数に等しいおいてやります。
だから、3つの式がたち、それぞれを整理し、
条件にあったx、y、zを求める。

それと並行してもう一つの方向があります。
すなわち、

7x+2=9y+4となることはいいですね。
で、9y-7x=-2となる。きれいにすると、
7x-9y=2・・・(1)

これを、7x=9y+2として、このようにします。

7x+7=9y+2+7

すなわち、両辺に7をそれぞれ足してやるのです。

すると、7(x+1)=9(y+1)となり、綺麗に因数分解できますね。

すると、このとき、x+1=X y+1=Yとおきましょうか。

7X=9Yとなり、かなりきれいになりました。
X=9Y/7
これは、比の演算法則を知っていれば気づくと思いますが、

X:Y=9:7であるということです。

今度は、12z+7=7x+2に注目。
これも同様にして、両方に5の数字を足してやる。
すると、
12z+7+5=7x+2+5となり、
12(z+1)=7(x+1)となります。
そのため、z+1=Zとおいてやると、
12Z=7Xになりますから、

比の演算により、X:Z=12:7

つまり結局は、これはX=12Z/7
といえますから、

12Z/7=9Y/7ですから、
12Z=9Y
すなわち、Y:Z=12:9である。といえます。

よって、X:Y:Z=

X:Y=9:7 1
Y:Z=12:9 2
X:Z=12:7となり、3

1と3を比べると、1を3分の4倍すれば、

X:Y=12:3分の28

Yは整数だから、辺辺3をかけて、36:28
X:Zの比にも3をかけると、36:21となり、

X:Y:Z=36:28:21となります。

とすれば、x+1:Y+1:Z+1=36:28:21となりますね。

7(x+1)を36倍してみます。
9(Y+1)を28倍してみます。
12(Z+1)を21倍してみます。
252(x+1) 252(y+1)252(z+1)として

それぞれが同じ数字になりました。

だから、X+1=36とし、x=35.よって35回7本ずつわける。

そしたら、2本あまるので、全部で247本。

Y+1=28とし、Y=27とすれば、27回9本ずつおって4本
だから、やっぱり247ほん

Z+1=21として、Z=20とすれば、20回12本ずつおって、7本あまる
だから、やっぱり247本。

結局、答えは247本である。

270本くらいあります。ってあるから、くらい、のわりにはかなり離れてる
ような気もしますが、まぁいいんじゃないでしょうかw
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