正の実数a,b,cについて、
3/2<{(4a+b)/(a+4b)}+{(4b+c)/(b+4c)}+{(4c+a)/(c+4a)}<9
が成り立つことを示せ。

次のように考えましたが、不等式を示せません。
アドバイスをよろしくお願いします。
0<a=<b=<cとしても一般性は失わない。
真ん中の3つの式をそれぞれ分母、分子をbで割ると、
{(4a/b+1)/(a/b+4)}+{(4+c/b)/(1+4c/b)}+{(4c/b+a/b)/(c/b+4a/b)}・・・(1)
また、0<a/b=<1=<c/b・・・(2)
(1)の(4a/b+1)/(a/b+4)で、a/bをxとおくと、(4x+1)/(x+4)となり、0<x=<1のとき、(4x+1)/(x+4)=<1
次に(1)の)(4+c/b)/(1+4c/b)で、c/bをyとおくと、(y+4)/(4y+1)となり、y>=1のとき、(y+4)/(4y+1)=<1
(1)の(4c/b+a/b)/(c/b+4a/b)で、c/bをzとおくと、(4z+x)(z+4x)となり、z>=1のとき、0<x=<1の値のとき
(4z+x)(z+4x)<4となり、(1)<1+1+4=6<9となりましたが、6<9のところがあまりにギャップが大きいので
間違っている気がします。まずは、右の不等式について、アドバイスをおねがいします。

A 回答 (2件)

>0<a=<b=<cとしても一般性は失わない。



これが間違いでしょうね。
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与式は


{(4(a/b)+1)/(4+(a/b))}+{(4(b/c)+1)/(4+(b/c))}+{(4+(a/c))/(4(a/c)+1)}
とも書けて、
a/bとb/cを同時に大きくすることもできるんじゃないかな…。
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